Sur le comportement de certains noyaux de Fredholm itérés indéfiniment et sur les probabilités en chaine. (Q566063)

In einem endlichen Grundgebiet \(V\) sei ein stetiger Kern \(p(E,F)\) mit \(p(E,F)\geq 0\) und \(\int _V p(E,F)\,dF=1\) definiert, der sich somit als Wahrscheinlichkeit des Überganges von \(E\) nach \(F\) deuten läßt. Der \(n\)-te iterierte Kern \(P^{(n)} (E,F)\), d. i. die Wahrscheinlichkeit des Übergangs von \(E\) nad \(F\) in \(n\) Schritten, konvergiert in \textit{Cesàro}schem Sinne mit wachsendem \(n\) gegen den Hauptkern \(\varPi (E,F)\) von \(p(E,F)\) zum Eigenwert 1; dieser ist von endlichem Rang. Notwendig und hinreichend dafür, daß \(\varPi (E,F)\) von \(E\) unabhängig ist, ist, daß \(\lambda =1\) einfacher Eigenwert von \(p(E,F)\) ist. Notwendig und hinreichend dafür, daß \(P^{(n)} (E,F)\) gleichmäßig in gewöhnlichem Sinn konvergiert, ist, daß \(p(E,F)\) keinen anderen Eigenwert vom Betrage 1 besitzt als die Zahl 1 selbst. Die Beweise sollen in einer späteren Arbeit nachgetragen werden. (IV 16.)