On the behavior of the \(n\)-th iterate of a Fredholm kernel as \(n\) becomes infinite. (Q566064)

Verf. berichtet ohne Beweise über einige von ihm erhaltenen Resultate betreffend das asymptotische Verhalten von \(n\)-fach iterierten Kernen \[ K^{(n+\nu )} (M,P)=\int _V K^{(n)} (M,Q)K^{(\nu )} (Q,P)\,dQ, \] ein Problem, das durch die Wahrscheinlichkeitsrechnung aufgeworfen wurde. Die Voraussetzungen, die provisorischerweise gemacht werden, sind: \[ K(M,P) \geq 0, \quad \int _V K(M,P)\,dP =1; \] ferner, daß die \(K^{(n)} (M,P)\) für \(n\geq m\) stetig sind im beschränkten Gebiet \(V\). Dann sind die \(K^{(n)} (M,P)\) beschränkt in \(n,M,P\) für \(n\geq m\), wenn alle Eigenwerte \(\lambda _j\) von \(K(M,P)\) ihrem absoluten Werte nach größer als 1 sind oder wenn alle \(|\lambda _j| \geq 1\), und diejenigen \(\lambda _j\), für die \(|\lambda _j|=1\) ist, einfache Pole der Resolvente sind. In allen übrigen Fällen wachsen die oberen Schranken der \(K^{(n)} (M,P)\) mit \(n\) unbeschränkt. Weitere Sätze beziehen sich auf den Fall, wo die iterierten Kerne eine gemeinsame Schranke haben. Dann sind die \(K^{(n)}\) gleichmäßig \textit{Cesàro}-konvergent, und ihre verallgemeinerte Grenzfunktion ist \[ \varPi (M,P)+\sum _{j=1}^r \varPhi _j (M) \varPsi _j (P), \] wo die \(\varphi _j, \varPsi,j\) ein biorthogonales System von zum Eigenwert \(\lambda _1 =1\) gehörigen normierten Eigenfunktionen der assoziierten Kerne \(K(M,P)\) und \(K(P,M)\) sind. Sodann folgen noch einige Sätze über Spezialfälle: Notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \(\varPi (M,P)\) unabhängig von \(M\) ist, über asymptotische Periodizität der \(K^{(n)} (M.P)\) in \(n\) und die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die \(K^{(n)}\) im gewöhnlichen Sinne gleichmäßig konvergieren. Die Untersuchung über all diese Probleme geht am besten von dem Studium des asymptotischen Verhaltens der Lösungen eines Systems von \(q\) linearen Differenzengleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten in \(q\) Unbekannten aus. (IV 16.)