Sur les équations intégrales de première espèce à limites fixes. (Q566078)

Einer integrierbaren Funktion \(f(x)\) kann man die Zahlenfolge \(c_1\), \(c_2\), \(\dots, c_n, \dots \) zuordnen, definiert durch \(c_n=f_n(a)\), wobei \[ f_1(x)=\int _0^x f(x)\,dx, \quad f_2(x)=\int _0^x f_1(x)\,dx, \dots, \quad f_n(x)=\int _0^x f_{n-1} (x)\,dx \] ist. Diese Zahlenfolge definiert die Funktion \(f(x)\) eindeutig. Verf. verwendet sie, um die Integralgleichung erster Art \[ f(x)=\int _0^b k(x,s) h(s)\,ds \tag{1} \] zu lösen. Indem man \[ k_1(x,s)=\int _0^x k(x,s)\,ds, \dots, k_n(x,s)=\int _0^x k_{n-1} (x,s)\,ds, \dots \] und \[ D_1(s)=k_1(a,s),\dots, \quad D_n(s)=k_n(a,s), \dots \] setzt, geht (1) über in das System \[ c_n =\int _0^b D_n(s) h(s)\,ds \qquad (n=1,2). \] Sind die \(D_n(s)\) linear abhängig, so muß die gleiche Abhängigkeit zwischen den \(c_n\) bestehen. Ohne Beweis gibt Verf. an, daß zusammen mit dieser Bedingung notwendig und hinreichend für die Lösbarkeit von (1) ist die Konvergenz der Reihe \[ \sum _n (a_1^{(1)} c_1 + a_1^{(2)} c_2 + dots + a_1^{(n)} c_n )^2, \] wobei die \(a_i^{(j)}\) gewisse Konstanten sind, die von den \(k(x,s)\), nicht aber von \(f(x)\) abhängen. Daneben berichtet Verf. von den notwendigen und hinreichenden Bedingunger dafür, daß die Zahlen \(c_1, c_2, \dots,\) im obigen Sinne einer beschränkten bzw. quadratisch integrierbar Funktion entsprechen.