Sur la théorie des noyaux singuliers symétriques complètement continus. (Q566080)

In der vorliegenden Arbeit gibt Verf. eine vollständige Theorie der meßbaren reellen symmetrischen Kerne, die den vollstetigen quadratischen symmetrischen Formen entsprechen. Ausgehend von den verschiedenen Begriffen der Konvergenz von Funktionenfolgen (Konvergenz im Mittel, Konvergenz im Maße und schwache Konvergenz), über deren Zusammenhänge die Einleitung einige zum Teil schon bekannte Hilfssätze enthält, definiert Verf. (etwas allgemeiner als \textit{Carleman}) als vollstetigen Kern jede meßbare reelle symmetrische Funktion von zwei Veränderlichen \(K(x,y)\), für die \(\int _a^b K(x,y)^2 dy\) für fast alle \(x\) in \(\langle a,b \rangle \) existiert, und für die \[ \lim _{n=\infty } \int _a^b \int _a^b K(x,y) \chi _n (x) \chi _n (y)\,dydx =0 \] ist für jede Folge von quadratisch integrierbaren Funktionen \(\chi _n (x)\) mit \[ \int _a^b \chi _n (x)^2 dx \leq k^2, \] die für fast alle \(x\) gegen Null konvergiert. Für solche Kerne beweist Verf. die Gültigkeit der Sätze der vollstetigen quadratischen Formen, insbesondere, daß die mit den Eigenwerten \(\lambda _i\) und normiertorthogonalen Eigenfunktionen \(\varphi _i (x)\) gebildete Reihe \(\sum \limits _{i=1}^{\infty } \left ( \dfrac {\varphi _i(x)}{\lambda _i} \right ) ^2\) für fast alle \(x\) konvergiert und ebenso für fast alle \(x\) \[ \lim _{n\to \infty } \int _a^b \left ( K(x,y) -\sum _{i=1}^n \frac {\varphi _i (x) \varphi _i (y)}{\lambda _i} \right )^2 dy=0 \] ist. Die zum vollstetigen Kern \(K(x,y)\) gehörige Resolvente \(\varGamma (x,y; \lambda )\) führt Verf. direkt als die Reihe \(\sum \limits _{i=1}^{\infty } \dfrac {\varphi _i (x) \varphi _i (y)}{\lambda _i -\lambda }\) ein und leitet für sie die Gültigkeit all der Gleichungen ab, denen die übliche Resolvente genügt.