Sur la solution continue la plus générale d'une équation fonctionnelle de la théorie des probabilités en chaîne. (Q566101)

Ankündigung des folgenden Satzes: Die allgemeinsten stetigen Lösungen der Funktionalgleichungen \[ \varphi _{ik} (s,t)=\sum _{j=1}^r \varphi _{ij} (s,u)\, \varphi _{jk}(u,t) \quad (s\leq u\leq t; i,k=1,2,\dots,r) \] unter der Nebenbedingung \[ \varphi _{ik} (s,s)=\begin{cases} 1\; \text{ für } i=k \\ 0\; \text{ für } i\neq k \end{cases} \] sind von der Form \[ \varphi _{ik} (s,t)=\sum _j a_{ij} (s) \frac {A_{kj} (t)}{d(t)}, \] wo die \(a_{ij}(s)\) willkürliche stetige Funktionen von \(s\) sind mit von Null verschiedener Determinante \(d(s)\) und die \(A_{ij} (s)\) die zugehörigen Adjunkten. In seiner Besprechung dieser Arbeit bemerkt \textit{A. Kolmogoroff} (Zentralblatt f. Math. 5(1933), 255), daß der Satz sofort trivial wird, wenn man Matrizenschreibweise benutzt. Den Schluß der Note bildet das Beispiel \(r=2\), wo auch die für die Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung wichtigen Zusatzbedingungen \[ \varphi _{ik} (s,t) \geq 0, \; \sum _{k=1}^r \varphi _{ik} (s,t)=1 \] berücksichtigt werden.