Stetige Lösungen gewisser Funktionalgleichungen. (Q566104)

Verf. beweist die folgenden Sätze, indem er jedesmal zunächst die allgemeinsten Lösungen der betreffenden Funktionalgleichung durch einfache Konstruktionen herstellt und erst zuletzt diese Lösungen den gewünschten Stetigkeitsbedingungen unterwirft. \(F(x)\) und \(\varphi (z)\) seien im ganzen reellen Bereich definierte, eindeutige, stetige reelle Funktionen; \(F(x)\) sei ferner eindeutig umkehrbar, \(\varphi (x)\) bei 1) und 2) stets wachsend, bei 3) stets abnehmend. 1) Die Gleichung \(\varphi (x)=x\) habe im Reellen keine Wurzeln. Die Funktionalgleichung \[ f(\varphi (x))=F(f(x)) \] hat dann im ganzen reellen Bereich stetige Lösungen \(f(x)\). 2) Die Gleichung \(\varphi (x)=x\) habe im Reellen Wurzeln, die sich nirgends im Endlichen häufen. Die Funktionalgleichung \[ f(\varphi (x))=f(x) \] hat dann nicht-konstante Lösungen \(f(x)\), die im ganzen reellen Bereich, mit Ausnahme der Reellen Wurzeln von \(\varphi (x)=x\), stetig sind. 3) Die Gleichung \(\varphi (\varphi (x))=x\) sei entweder identisch erfüllt, oder sie habe reelle Wurzeln, die sich nirgends im Endlichen häufen. Die Funktionalgleichung \[ f(\varphi (x))=f(x) \] hat dann nicht-konstante Lösungen \(f(x)\), die im ganzen reellen Bereich, mit Ausnahme der Wurzeln von \(\varphi (\varphi (x))=x\), stetig sind. Als Beispiele werden insbesondere die Lösungen der Funktionalgleichungen \(f(\sin x) =f(x)\), \(f(\cos x)=f(x)\), \(f(ax)=f(x)\), \(f(x^a)=f(x)\) besprochen.