Über eine gewisse Klasse von Räumen vom Typus \(B\). (Q566113)

\(M(u)\) sei eine im Intervall \((-\infty, +\infty )\) stetig definierte Funktion, wachsend im Intervall \((0, +\infty )\), die den Bedingungen genügt: \[ 1) M(0) =0; \qquad 2) M(u) >0 \; \text{ für } u>0; \qquad 3) M(u)=M(-u). \] Mit \(\mathfrak M\) bezeichne man die Menge der Funktionen \(f(x)\), die im Intervall \((0, 1)\) definiert sind, und für die \[ \int _0^1 M(f(x))\,dx <\infty \] gilt. Verf. zeigt, daß die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Menge \(\mathfrak M\) ein Vektorraum sei, ist, daß \[ M(2u) \leq kM(u) \] für eine gewisse Konstante \(k\) und \(|u| \geq a\) gilt. Wenn man außerdem noch voraussetzt, daß die Funktion \(M(u)\) konvex sei und den Bedingungen genüge: \[ 1) \lim _{u\to 0} \frac {M(u)}{u} =0, \qquad 2) \lim _{u\to \infty } \frac {M(u)}{u} =\infty, \] so bildet die Menge \(\mathfrak M\) einen Raum vom Typus \(B\) mit den Norm \[ \| f \| = \text{Max } \int _0^1 f(x) g(x)\,dx, \] wo das Maximum unter allen Funktionen \(g(x)\) zu nehmen ist, die der Bedingung \[ \int _0^1 N(g(u))\,du \leq 1 \] unterworfen sind, wenn \(N(u)\) die im Sinne von \textit{W. H Young} zur Funktion \(M(u)\) komplementäre Funktion ist. Die so definierte Klasse von Räumen \(B\) verallgemeinert die Räume \(L^p\) (\(p>1\)). Unter den vom Verf. bewiesenen Eigenschaften dieser Räume (häufig \(O\)-Räume genannt) sei die allgemeine Form der linearen Funktionale hervorgehoben: \[ U(f)=\int _0^1 f(x) g(x)\,dx, \] wo \(\int _0^1 N(kg(x))\,dx\) existiert für ein gewisses \(k\), \(0<k<1\), und \(N(u)\) dieselbe Bedeutung hat wie oben. Verf. gibt ferner einige Anwendungen der \(O\)-Räume auf die Theorie der Orthogonalreihen.