Über einen Satz von Herrn M. H. Stone. (Q566116)

Von M. H. Stone (1930; JFM 56.0357.*) stammt der Satz: (S) Sei \(U_t\) eine Schar unitärer Operatoren des \textit{Hilbert}schen Raumes mit der Gruppeneigenschaft \[ U_t U_s =U_{t+s}. \] Dann existiert eine Zerlegung der Einheit \(E(\lambda )\), so daß symbolisch \[ U_t = \int _{-\infty }^{+\infty } e^{it\lambda } \,dE(\lambda ) \] gilt. - Dabei wird \(U_t\) als { stetig} von \(t\) abhängend vorausgesetzt. Verf. führte (Der Eindeutigkeitssatz der Schrödingerschen Operatoren, Math. Ann. 104 (1931), 570-578; F. d. M. 57) folgenden Begriff ein: (M) Der Operator \(U_t\) hängt meßbar vom Zahlenparameter \(t\) ab, wenn für alle \(f,g\) des \textit{Hilbert}schen Raumes die numerische Funktion \((U_t f,g)\) im \textit{Lebesgue}schen Sinn meßbar ist. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß die Prämissen von (S) zusammen mit (M) die Stetigkeit von \(U_t\) bezüglich \(t\) nach sich ziehen. Ferner wird ein neuer Beweis von (S) gegeben. (IV 8.)