On operations permutable with the Laplacian. (Q566161)

Die Arbeit befaßt sich mit Operatoren \(L(u)\), angewandt auf zweimal stetig differenzierbare Funktionen \(u\) in einem \(R_n\), welche mit dem \textit{Laplace}schen Operator \(\nabla ^2 u\) vertauschbar sind. Der Grundtyp ist der Operator \[ L_k (u)=h_k (\omega ) \int h'_k (\omega ') u(r, \omega ') d\omega '. \] \(r, \omega '\) bezeichnet ein System von Polarkoordinaten, \(d\omega '\) ist das Oberflächenelement der Einheitskugel, und \(h_k (\omega ), h'_k (\omega )\) sind Kugelflächenfunktionen der Dimension \(k\) (\(r^k h_k\) ist also ein homogenes harmonisches Polynom in den kartesischen Koordinaten). \(L_k (u)\) hängt nur ab von den Werten von \(u\) auf der betreffenden Kugel und stellt offenbar ein Glied der \textit{Fourier}entwicklung von \(u\) nach Kugelflächenfunktionen dar. Für \(h_k=h'_k=1\) erhält man als Spezialfall den Operator \(A(u)=\frac {\int u\cdot dS}{\int dS}\) (\(dS\) das Flächenelement der Kugel vom Radius \(r\)). Aus dem Operator \(L_k (u)\) ergibt sich der Operator \(L_{k,m} (u)\), wenn die Integration nur über die Kugelfläche eines \(m\)-dimensionalen Teilraumes des \(R_n\) erstreckt wird. Läßt man das Kugelzentrum ins Unendliche rücken und erhöht in passender Weise den Grad \(k\) der Polynome, so daß sich \(-k(k+n-2) r^{-2}\) einer bestimmten Grenze nähert, so erhält man Operatoren \(L^*_{k,m}\), bei welchem über ein lineares unendliches Gebiet integriert wird. Natürlich muß jetzt \(u\) gewissen Konvergenzbedingungen unterworfen werden. In jedem Falle aber läßt sich die Gleichung \[ \nabla ^2 L(u)=L(\nabla ^2 u) \] beweisen. Läßt man die Voraussetzung, daß \(k\) eine ganze Zahl ist, fallen, so sind die Funktionen \(r^k h_k\), die man dann nicht als Polynome ansetzen darf, vieldeutig. Besitzt \(u\) für jedes \(r\) dieselbe Vieldeutigkeit, so läßt sich auch bei solchen Operatoren noch die Vertauschbarkeit beweisen. Auch für nichteuklidische Räume lassen sich entsprechende Sätze gewinnen, wenn man für \(\nabla ^2 u\) den zweiten \textit{Beltrami}schen Operator einsetzt. Man kann die Stetigkeitsvoraussetzungen über \(u\) abschwächen und \(u\) als Potential von Massenverteilungen ansetzen. Zum Schluß wird noch gezeigt, daß sich der allgemeine Operator \[ L(u)=\int G(r,\omega, \omega ') u(r, \omega ')\, d\omega ', \] falls \(G\) nach Kugelflächenfunktionen entwickelbar ist, auf die Operatoren \(L_k\) zurückführen läßt.