Sur la propagation d'invariances intégrales. (Q566225)

\(A(x,y,z)\) und \(B(x,y,z)\) seien zwei Funktionen im euklidischen \((x,y,z)\)-Raum. Durch die Flächenscharen \(A=\) const und \(B=\) const entsteht im Raum eine zweifach unendliche Schar von infinitesimalen Kanälen (d. h. mit infinitesimalem Querschnitt). Wenn \(U=U(A,B)\) und \(V=V(A,B)\) zwei Funktionen von \(A\) und \(B\) sind, gilt im \((A, B)\)-Raum die \textit{Green}sche Formel \[ \int _C (UdA+VdB)=\int \int _D \left ( \frac {\partial V}{\partial A} -\frac {\partial U}{\partial B} \right ) dA\, dB, \tag{1} \] wo \(D\) ein einfach zusammenhängender Bereich und \(C\) sein Rand ist. Ferner sei im \((x,y,z)\)-Raum eine Fläche \(F(x,y,z)=0\) gegeben. Auf dieser Fläche werden von den infinitesimalen Kanälen Flächenelemente \(d\sigma \) ausgeschnitten, die zu dem Differentialelement \(dAdB\) in der Beziehung \[ dA\, dB=\begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} d\sigma \tag{2} \] stehen, wobei \(\alpha, \beta, \gamma \) die Komponenten des zur Fläche \(F=0\) normalen Einheitsvektors und die Indices partielle Ableitungen nach \(x,y,z\) bedeuten. Die durch Kombination von (1) und (2) sich ergebende Integralbeziehund ist bei Deformation der Fläche \(F=0\) längs eines Kanals invariant, was nach den Voraussetzunmgen trivial ist. Dies sind die Grundbeziehungen, die den Untersuchungen des Verf. zugrunde liegen. Verf. betrachtet gewisse Spezialfälle der eben genannten Integralbeziehung: \(A\) und \(B\) seien homogene Funktionen der \(x,y,z\) vom Grade Null. In diesem Falle sind die infinitesimalen Kanäle Kegel, die ihre Spitze im Nullpunkt haben. Verf. stellt dann die Gleichungen der Schar \(F=\) const auf, in der durch die infinitesimalen Kanäle gleiche Flächeninhalte, gleiche Projektionen auf die \((x,y)\)-Ebene usw. ausgeschnitten werden. Besondere Beachtung wird dem Zusammenhang mit der Integrationstheorie von Differentialgleichungen geschenkt. Der Natur des Stoffes nach ergeben sich hierbei Zusammenhänge mit einer speziellen \textit{Riccati}schen Gleichung und den allgemeinen partiellen linearen Differentialgleichungen erster Ordnung. Eine weitere eingehende Betrachtung wird dem Fall gewidmet, daß die Kanäle von ebenen krummen Kurven erzeugt werden. Zum Schluß erfolgt die keine Schwierigkeit bietende Übertragung der durchgeführten Rechnungen auf den vierdimensionalen Raum.