Eindeutigkeitskriterien und Knoteninvarianz bei Differentialgleichungen. (Q566237)

Bei der Differentialgleichung \(y'=f(x,y)\) mit stetiger rechter Seite möge durch jeden von 0,0 verschiedenen Punkt eines Winkelraums \(f(0,0) -\varepsilon < \frac {y}{x} < f(0,0) + \varepsilon \) nur eine Integralkurve gehen und, wenn \[ \psi (x,y_1,y_2) = x\frac {f(x,y_1) -f(x,y_2)}{y_1 -y_2} \] gesetzt wird, möge das Integral \[ \int _{x_0}^x \psi (t,y_1,y_2) t^{-1} dt, \] in dem \(y_1(t), y_2(t)\) irgendwelche in der Richtung \(f(0,0)\) in den Nullpunkt einmündende Funktionen mit \(y_2(t)<y_1(t)\) sind, für \(x\to +\infty \) nicht gegen \(-\infty \) gehen. Dann gibt es auch nur ein Integral, das durch den Punkt 0,0 geht. Ist für das Gleichungssystem \[ x'(t)=x+\eta _2 (x,y),\; y'(t)=ay+\eta _1(x,y) \] der Nullpunkt isolierte singuläre Stelle, so ist er in folgenden beiden Fällen sicher ein Knotenpunkt: 1) \[ a>1, \eta =o(|x|+|y|), |\eta _1(x_1,y)-\eta _1(x_2,y)|<C|x_1-x_2|, \] \[ \eta _2(x_1,y) -\eta _2(x_2,y)|<D\frac {a-1}{a} |x_1-x_2| \quad (D<1). \] 2) \[ a=1, |\eta (x_1,y_1) -\eta (x_2,y_2)|<r\cdot \varepsilon (\varrho ), \] wo \[ r=\sqrt {(x_1-x_2)^2 +(y_1-y_2)^2}, \; \varrho =\sqrt {x_1^2 +y_1^2} + \sqrt {x_2^2 +y_2^2} \] und \(\varepsilon (\varrho )\) eine gewisse positive, mit \(\varrho \) monoton gegen Null strebende Funktion ist, für die \(\int _{\varrho _0}^{\varrho } \varepsilon (t)t^{-1} dt\) für \(\varrho \to 0\) konvergiert.