Sur les caractéristiques à la surface du tore. (Q566253)

\(T\) sei eine umkehrbar eindeutige, die Orientierung erhaltende stetige Transformation eines Kreises \(C\) in sich, und ihre \textit{Poincaré}sche Rotationszahl sei irrational. Dann erfüllen, wie \textit{Poincaré} gezeigt hat (1885; F. d. M. 17, 680 (JFM 17.0680.*)), die Bilder eines beliebigen Punktes \(p\) bei Anwendung aller positiven und negativen Potenzen von \(T\) entweder \(C\) dicht, oder diese Bilder streben asymptotisch gegen eine gewisse perfekte, nirgends dichte invariante Teilmenge von \(C\). Die Frage, ob der zweite Fall eintreten kann oder nicht, wenn \(T\) analytisch ist, war von \textit{Poincaré} offen gelassen worden. In der vorliegenden Note wird die Frage negativ beantwortet. Es wird nämlich gezeigt, daß, wenn \(\theta \) die Winkelkoordinate eines Punktes von \(C\) ist, und wenn \(\theta _1=T\theta \), dann der fragliche Fall unmöglich ist, wenn \(\frac {d\theta _1}{d\theta }\) für jedes \(\theta \) existiert, stetig und von beschränkter Schwankung ist. - Es sei nun \(\tau \) ein Torus mit den Winkelkoordinaten \((\Phi, \theta )\), und eine Kurvenschar (Charakteristiken) auf \(\tau \) sei definiert durch die Gleichung \(\frac {d\theta }{d\Phi }=A(\Phi, \theta )\), wo für die stetige Funktionen \(A\) \(\frac {\partial ^2 A}{\partial \theta ^2}\) als existierend, endlich und summierbar über \(\tau \) vorausgesetzt wird. \(C\) sei der Meridiankreis \(\Phi =0\) und \(T\theta \) die \(\theta \)-Koordinate des Punktes, in dem die Charakteristik durch \((0, \theta ) C\) wieder trifft, wenn \(\Phi \) um \(2\pi \) wächst. Die oben genannten Bedingungen für \(\frac {d\theta _1}{d\theta }\) sind erfüllt. Wenn daher die Rotationszahl von \(T\) irrational ist (was hier bedeutet, daß es keine geschlossenen Charakteristiken gibt), so bedeckt eine beliebige Charakteristik bei unbegrenzter Fortsetzung in beiden Richtungen \(\tau \) dicht.