Sur une application géologique des équations différentielles. (Q566289)

Trifft die Hypothese zu, daß die periodischen Vereisungen des Erdballes durch periodische Schwankungen des Kohlenstoffgehaltes der Atmosphäre bedingt sind, so kann man sie durch folgende mathematischen Betrachtungen plausible machen: Ist \(x\) der nutzbare Kohlenstoffgehalt der Atmosphäre und Erdrinde, \(y\) der Kohlenstoffgehalt der Pflanzenwelt, \(z\) derjenige der Tierwelt, so setzt Verf. nach dem Vorbild der biologisch-mathematischen Vorstellungen von \textit{Volterra} folgendes Differentialgleichungssystem an: \[ x'=-\beta y +\gamma z -bxy, \; y'=\beta y-ayz +bxy, \; z'=-\gamma z +ayz. \tag{*} \] Es bringt zunächst die Tatsache zum Ausdruck, daß die Gesamtmenge des am Kreislauf teilnehmenden Kohlenstoffes \(x+y+z=C=\) const ist. In der Nähe des stationären Zustandes (\(x'=y'=z'=0\)), d. h. des Punktes \[ x_0=\frac {aC-\beta -\gamma }{a+b}, \; y_0 =\frac {\gamma }{a}, \; z_0=\frac {baC+a\beta -b\gamma }{a(a+b)} \] sind, wenn man voraussetzt, daß höhere Potenzen von \(x-x_0, y-y_0\) und \(z-z_0\) vernachlässigt werden können (Fall kleiner Schwankungen), falls \(C\) hinreichend groß ist, die Lösungen des Systemes (*) periodisch; also ist insbesondere der Kohlenstoffgehalt der Atmosphäre und Erdrinde eine periodische Funktion der Zeit. - Dies gilt auch ganz allgemein, wenn \(b=0\) ist; zwischen \(y\) und \(z\) besteht dann die Beziehung \[ y^{\gamma } z^{\beta } e^{-ay-az} =\text{ const}, \] die in der \((y,z)\)-Ebene geschlossene Kurven um den Punkt \(y_0, z_0\) darstellt, welche mit fortschreitender Zeit immer in demselben Sinn durchlaufen werden. Man kann diese Lösungen leicht mit genügender Genauigkeit in ihrer Abhängigkeit von den Konstanten des Systemes (*) berechnen. Hinweis auf andere geologische Probleme, die sich ähnlich behandeln lassen.