On the approximate solution of linear differential equations with boundary conditions. (Q566315)

Gegeben sei die lineare Differentialgleichung \(m\)-ter Ordnung \[ y^{(m)} +Q_1 (x)y^{(m-1)} +\dots +Q_m (x)y=R(x) \] mit den Randbedingungen \(U_i(y)=h_i\) (\(i=1,2,\dots,m\)), wobei \(U_i(y)\) lineare Verbindungen der Werte von \(y^{(m-1)}, y^{(m-2)}, \dots, y\) für \(x=a\) und \(b\) sind. \(P_n(x)\) heißt das approximierende Polynom \(n\)-ter Ordnung der Lösung der Randwertaufgabe, wenn es den Ausdruck \[ \int _a^b |L(P_n)-R|^r \,dx +\sum _{i=1}^m C_i |U_i (P_n) -h_i|^{r_i} \] unter allen Polynomen gleichen Grades zum Minimum macht. \(r, r_1, \dots, r_m\), \(C_1, \dots, C_m\) sind dabei gegebene Konstanten. Verf. untersucht für \(n\to \infty \) die Konvergenz der approximierenden Polynome gegen die Lösung \(y\). Dabei stützt er sich auf die folgende, in einer früheren Arbeit (1931; JFM 57.0531.*) von ihm bewiesene Tatsache: Es gibt (unter gewissen Voraussetzungen über die Koeffizienten \(Q_i\)) eine Folge von Polynomen \(n\)-ten Grades \(p_n (x)\), welche den Randbedingungen und den Ungleichungen \[ |y^{(k)} (x) -p_n^{(k)} (x)| \leq \varepsilon _n \, (k=0,1,\dots,m) \] genügen, wobei \(\lim _{n\to \infty } n^{\frac 2{r}} \varepsilon _n^s=0\) bei vorgegebenem \(s>0\). In der vorliegenden Arbeit wird nun \[ |y^{(k)} (x) -P_n^{(k)} (x)| \leq \text{ const } n^{\frac 2{r}} \varepsilon _n^s \] bewiesen.