On Boole's operational solution of linear finite difference equations with rational coefficients. (Q566331)

Es werden zwei (in speziellerer Form bereits von \textit{Boole} benutzte) Operatoren \(\varrho, \pi \) eingeführt durch \[ \begin{aligned} \varrho ^m u(x) &= \frac {\Gamma (\xi +1) u(x-m)}{\Gamma (\xi -m+1)}, \\ \pi u(x) &= \xi \mathop {\Delta }_{-1} u(x) =(x-r)(u(x) -u(x-1)); \end{aligned} \] dabei ist \(r\) eine feste Zahl, \(\xi =x-r\), und \(m\) reell (nicht notwendig ganzzahlig). Nach Aufstellung einiger Regeln für das Rechnen mit diesen Operatoren wird bewiesen, daß sich jede lineare Differenzengleichung, deren Koeffizienten rationale Funktionen der unabhängigen Veränderlichen \(x\) sind, in der Gestalt schreiben läßt: \[ (f_0 (\pi ) \varrho ^k +f_1 (\pi ) \varrho ^{k-1} +\dots +f_{k-1} (\pi ) \varrho +f_k (\pi )) u(x)=f(x), \tag{1} \] wo die \(f_s (\pi )\) für \(s=0,1,\dots,k\) Polynome in \(\pi \) sind. Die Lösungsmethode für (1) wird ausführlich für Gleichungen zweiter Ordnung \[ p_2(x) \mathop {\Delta }_{-1}^2 u+p_1 (x) \mathop {\Delta }_{-1} u+p_0 (x) u=0, \] wo \(p_2 (x)\) ein Polynom \(n\)-ten Grades und \(p_1, p_0\) Polynome von höchstens \((n-1)\)-, bzw. \((n-2)\)-tem Grade sind, besprochen, läßt sich jedoch auch auf Gleichungen \(k\)-ter Ordnung übertragen.