On the operational solution of linear difference equations whose coefficients are expressible by factorial series. (Q566332)

Für die vom Verf. in der vorstehend besprochenen Arbeit eingeführten Operatoren \(\varrho, \pi \) werden einige weitere Rechenregeln abgeleitet, die zur Lösung von Differenzengleichungen der Form gebraucht werden: \[ p_2 (x) \mathop{\Delta}\limits_{-1}^2 u(x) +p_1(x) \mathop{\Delta}\limits_{-1} u(x)+p_0(x) u(x)=0. \] Dabei können die \(p_i(x)\) die Gestalt haben \[ p_i(x)=\sum _{s=n-2+i}^0 a_{s,i} \binom {x-1}{s} +\sum _{s=0}^{\infty } \frac {b_{s,i}}{x(x+1)\dots (x+s)} \quad (i=0,1,2); \] \(a_{n,2}\) wird \(\neq 0\) vorausgesetzt. Die Lösungsfunktion \(u\) wird in Gestalt einer ähnlich gebauten unendlichen Reihe angesetzt, deren Konvergenz nach der \textit{Nörlund}schen Methode bewiesen wird. Es werden die Fälle unterschieden, daß die Differenz der beiden Wurzeln der ``charakteristischen Gleichung'' ganzzahlig ist oder nicht. Als Beispiel wird die Gleichung behandelt: \[ (x-1)(x-2)\mathop{\Delta}\limits_{-1}^2 u-(a_1 +\frac {b_1}{x}) (x-1) \mathop{\Delta}\limits_{-1} u +(a_0 +\frac {b_0}{x}) u=0. \]