Sur quelques équations de Monge intégrables explicitement. (Q566370)

In der Behandlung sogenannter \textit{Monge}scher Probleme, insbesondere der Frage nach der Möglichkeit ``integralloser'' Darstellung ihrer Lösungen (explizite Integrabilität), kan man methodisch zwei Wege einschlagen. Ersetzt man durch Einführung neuer Veränderlichen das \textit{Monge}sche System durch ein \textit{Pfaff}sches, so gelingt es auf formal sehr elegantem Wege, notwendige und hinreichende Bedingungen für integrallose Lösbarkeit des \textit{Monge}schen Systems zu gewinnen (vgl. \textit{Cartan}, 1914; F. d. M. 45, 472 (JFM 45.0472.*), 1294. Verf., Leçons sur le problème de Pfaff (1922; F. d. M. 48, 538 (JFM 48.0538.*)), Kap. VII). Historisch älter ist der geometrisch anschaulichere Weg, welcher nach \textit{Monge}s klassischer Arbeit von 1784 zuerst 1905 vom Verf. wieder betreten wurde (F. d. M. 36, 421 (JFM 36.0421.*)). Der Grundgedanke dieser Methode besteht letzthin im Dualitätsprinzip der Geometrie, in der Möglichkeit, den (örtlichen) \textit{Monge}schen Richtungskegel im durch das \textit{Monge}sche Problem definieren Linienkomplex dual als Ort der Tangentialebenen aufzufassen, wodurch der ``\textit{Monge}sche Elementarkegel'' dualistisch zum (örtlichen) ``\textit{Hamilton}schen Elementarkegel'' der im Komplex enthaltenen Integralmannigfaltigkeiten der zugeordneten partiellen Differentialprobleme wird. In diesem Sinne betrachtet Verf. ein Involutionssystem (\(\Sigma \)) von \(n-1\) partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung in \(n\) unabhängigen Variablen \(x, x_1, \dots, x_{n-1}\) und einer abhängigen \(x_n\). Stellt man für \((\Sigma )\) das \textit{Cauchy}sche Problem, für eine vorgegebene Kurve \(M_1\) im \((n+1)\)-dimensionalen Raum \(E_{n+1}\) eine Integralmannigfaltigkeit von \((\Sigma )\) von \(n\) Dimensionen \(M_n\) zu bestimmen, welche \(M_1\) enthält, und ersetzt in der entsprechend längs \(M_1\) zu fordernden Relation \[ p_n=q+q_1 p_1 +\dots +q_{n-1} p_{n-1} \] die Größen \(q_1, q_2, \dots, q_{n-1}\), d. h. die linken Seiten im System \((\Sigma )\): \[ q_i=F_i(x,x_1, \dots, x_n;q) \; (i=1,\dots,n-1), \text{ wobei } q=\frac {\partial x_n}{\partial x}, q_i=\frac {\partial x_n}{\partial x_i}, \] durch ihre Werte rechts, so ergibt sich für jeden Punkt längs \(M_1\) für \(q\) die Bestimmungsgleichung \[ \mathfrak {F} (q) =q+F_1 p_1 +\dots +F_{n-1} p_{n-1} -p_n =0, \] worin unter \(p_1\) die Komponenten \(\frac {\partial \varphi _i}{\partial x}\) des Kurventangentenvektors verstanden werden. Hier sind zunächst zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem die Bedingung \(\mathfrak {E} (q)=0\) in keinem oder in jedem Punkt der Kurve \(M_1\) eine mehrfache Wurzel \(q(x)\) zuläßt. Im regulären ersten Fall bestimmen die zu jedem Werte \(q(x)\) gehörigen Koordinaten \(x,x_1,\dots,x_{n-1}\) eine charakteristische Mannigfaltigkeit \(M_{n-1}\) und für variable \(x\) entsteht eine Mannigfaltigkeit von Berührungselementen \(\mathfrak {M}_n\), welche den Aufbau der gesuchten Integralmannigfaltigkeit \(M_n\) ergibt. Die Integration von \((\Sigma )\) kommt in diesem Falle auf die Behandlung einer einzigen adjungierten \textit{Pfaff}schen Gleichung (\(\Omega =0\)) heraus. Verf. stellt sich nunmehr die Aufgabe, den singulären Fall mehrfacher Wurzeln längs \(M_1\) zu behandeln. Für eine \((r+1)\)-fache Wurzel bestehen die Bedingungen \[ \mathfrak {F}=0, \frac {\partial \mathfrak {F}}{\partial q}=0, \dots, \frac {\partial ^r \mathfrak {F}}{\partial q^r}=0, \tag{19} \] an deren Stelle das System der \textit{Pfaff}schen Gleichungen \[ \Omega =0, \Omega _1=0, \Omega _2=0, \dots, \Omega _r=0 \quad \left ( \Omega _r=\frac {\partial ^{\nu } \Omega }{\partial q^{\nu }} \right ) \] tritt. Elimination von \(q\) aus (19) ergibt das \textit{Monge}sche System \[ \Phi _i (x,x_1,\dots,x_n; p_1,\dots,p_n)=0 \quad (i=1,\dots,r), \tag{20} \] welches die singulären \(M_1\) der Ordnung \(r\) des Involutionssystems \((\Sigma )\) definiert. (Die Behandlung mehrdimensionaler singulärer Mannigfaltigkeiten und der zugehörigen partiellen und \textit{Monge}schen Differentialgelichungen hatte Verf. bereits früher gegeben, vgl. Annales Toulouse (3) 22 (1930), 249-295; JFM 56.0410.*.) Der Fall \(r>n\) ist im allgemeinen unmöglich; der Fall \(r=n\) führt auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen, welches die singulären Mannigfaltigkeiten der Ordnung \(n\) bestimmt, die noch von \(n\) willkürlichen Konstanten abhängen. Für singuläre Mannigfaltigkeiten erster Ordnung hat man entsprechend eine \textit{Monge}sche bzw. zwei \textit{Pfaff}sche Gleichungen zu untersuchen: \[ \Phi (x,x_1,\dots,x_n; p_1,\dots,p_n)=0 \; \text{ bzw. } \; \Omega =0, \Omega _1=0. \] Ist das \textit{Pfaff}sche System nicht vollständig integrabel, so läßt es sich auf die kanonische Form \[ dZ=PdX, dP=P_1 dX \] transformieren; seine Integralkurven \(M_1\) hängen noch von \(n-1\) willkürlichen Funktionen einer Variablen ab. Ist das \textit{Pfaff}sche System vollständig integrabel, so ergeben sich charakteristische Mannigfaltigkeiten von \(n-1\) Dimensionen, das \textit{Cauchy}sche Problem wird unbestimmt. Kennt man ein vollständiges Integral des Systems \((\Sigma )\), so können aus diesem die allgemeinen Gleichungen der singulären Mannigfaltigkeiten auf direktem Wege abgeleitet werden. Man hat zu diesem Zweck nur die geometrische Bedeutung von \(\mathfrak {F} (q)=0\) im Falle einer Doppelwurzel (das Zusammenfallen zweier Tangentialmannigfaltigkeiten längs der durch \[ \frac {X-x}1=\frac {X_1 -x_1}{p_1} =\dots =\frac {X_n -x_n}{p_n} \] gegebenen Geraden) zum Ausdruck zu bringen. Wie erkennt man umgekehrt, ob eine vorgelegte \textit{Monge}sche Gleichung \(\Phi =0\) singuläre Mannigfaltigkeiten erster Ordnung für ein Involutionssystem \((\Sigma )\) darstellt? Dafür gewinnt Verf. charakteristische Bedingungen durch eine neue geometrische Deutung der Gleichungen \[ \mathfrak {F} =0, \frac {\partial \mathfrak {F}}{\partial q} =0, \Phi =0 \] für festgehaltene \(x,x_1,\dots,x_n\) und ``laufende Koordinaten'' \(p_1, \dots, p_n\). Sie bestehen im Verschwinden aller Unterdeterminanten zweiter Ordnung in der \textit{Hesse}schen Determinante \((n-1)\)-ter Ordnung der zweiten Ableitungen der rechten Seite in der nach \(p_n\) aufgelösten \textit{Monge}schen Gleichung. Im allgemeinen Falle handelt es sich um \(r\) \textit{Monge}sche bzw. \(r+1\) \textit{Pfaff}sche Gleichungen. Sind die \textit{Pfaff}schen Gleichungen linear unabhängig und nicht vollständig integrabel, so können sie auf die kanonische Form \[ dZ=PdX, dP=P_1 dX, \dots, dP_{r-1} =P_r dX \] transformiert werden, und die (explizite) Bestimmung der singulären Mannigfaltigkeiten \(M_1\) der Ordnung \(r\) hängt von \(n-r\) willkürlichen Funktionen ab; in diesem Ergebnis sind frühere Resultate des Verf. als Spezialfälle enthalten. Für ein vollständig integrables \textit{Pfaff}sches System wird das \textit{Cauchy}sche Problem wiederum unbestimmt. Auch im allgemeinen Falle führt Verf. die Ableitung der Gleichungen, welche die singulären Mannigfaltigkeiten beliebiger Ordnung definieren, direkt aus der Voraussetzung eines bekannten vollständigen Integrals des Involutionssystems durch. Ebenso gelingt durch neue geometrische Deutung der \(r\) Gleichungen \[ \mathfrak {E}=0, \frac {\partial \mathfrak {E}}{\partial q}=0, \dots, \frac {\partial ^{r-1} \mathfrak {E}}{\partial q^{r-1}}=0 \] eine Charakterisierung \textit{Monge}scher Systeme, welche sich als Definitionsgleichungen singulärer Mannigfaltigkeiten der Ordnung \(r\) partieller Involutionssysteme \((\Sigma )\) auffassen lassen. Es handelt sich im wesentlichen wiederum um die Aufgabe, zum Ausdruck zu bringen, daß die in laufenden Koordinaten \(p_{\nu }\) gedeutete \(\mathfrak {O}_{n-r}\) \[ \Phi _i (x,x_1,\dots,x_n; p_1,\dots,p_n)=0 \] als Ort einer einparametrigen Schar linearer \((n-r)\)-dimensionaler Mannigfaltigkeiten entsteht. Die Linearisierung des Problems führt unvermeindlich in die Theorie der \textit{Pfaff}schen Systeme und innerhalb dieser auch zu den \textit{Cartan}schen Kriterien, was übrigens bereits in der Verwendung kanonischer Systeme deutlich wird. Es mag hier nur noch bemerkt werden, daß Verf. in der ganzen Untersuchung immer die Zahl \(n-1\) der Gleichungen des Involutionssystems \((\Sigma )\) festhält. Darin liegt ein wichtiger Unterschied gegenüber den Arbeiten von \textit{W. Groß} aus demselben Ideenkreise (vgl. 1912; F. d. M. 43, 381 (JFM 43.0381.*); 1915; F. d. M. 45, 490 (JFM 45.0490.*)).