Über den Zusammenhang zwischen der Eindeutigkeit und Lösbarkeit partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus . (Q566421)

Verf. hat bereits in einer früheren Arbeit (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\)), 242) mit Hilfe der Theorie der Funktionaloperationen den Zusammenhang zwischen der Eindeutigkeit und Lösbarkeit partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus studiert und insbesondere den Satz gefunden, daß die Gleichung \[ \frac {\partial ^2z}{\partial x^2} + \frac {\partial ^2z}{\partial y^2} - f(x, y, z, \frac {\partial z}{\partial x}, \frac {\partial z}{\partial y}) = \psi (x, y) \tag{1} \] für Funktionen \(\psi (x, y)\) und Randwerte \(\varphi (0)\), die genügend nahe bei \(\psi _0, \varphi _0\) liegen, stets lösbar ist, sobald die Gleichung (1) für \(\psi _0, \varphi _0\) lösbar ist und sobald a priori die Eindeutigkeit der Lösung erkannt werden kann. In der vorliegenden Abhandlung dehnt Verf. - ohne Verweisungen auf die frühere Arbeit - diese Untersuchungen auf allgemeine partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung von elliptischem Typus und auf Systeme solcher Gleichungen aus. Als Hauptresultat sei beispielsweise der Satz zitiert: Läßt sich a priori die Eindeutigkeit der elliptischen Differentialgleichung \[ F(x, y, z, \frac {\partial z}{\partial x}, \frac {\partial z}{\partial y}, \frac {\partial ^2z}{\partial x^2}, \frac {\partial ^2z}{\partial x \partial y}, \frac {\partial ^2z}{\partial y^2}) = \psi (x, y) \tag{2} \] bei beliebigen Funktionen \(\psi \) und Randwerten \(\varphi \) sicherstellen, so folgt aus der Lösbarkeit von (2) für \(\psi _0, \varphi _0\) die Existenz der Lösung für benachbarte \(\psi, \varphi \). Dei Untersuchung geschieht auch in diesem Falle mit Hilfe der Theorie der Funktionaloperationen. In Kap. I werden diejenigen abstrakten Räume axiomatisch festgelegt, in denen der topologische Hauptsatz gilt, welcher, auf Gleichungen von der Gestalt (2) angewendet, das gewünschte Resultat ergibt. Kap II liefert einige topologische Hilfssätze für endlichdimensionale Räume, mit deren Hilfe der funktionaltheoretische Hauptsatz abgeleitet wird. Dieser lautet im wesentlichen so: Wenn die Funktionaloperation \(\mathfrak G (x)\) das in einem abstrakten Raum gelegene Gebiet \(G\) auf eine in demselben Raum eingebettete Menge \(\mathfrak G (G)\) eineindeutig abbildet, und wenn dabei die Funktionaloperation \(\mathfrak G (x) - x = \mathfrak {F}(x)\) vollstetig ist, so ist auch \(\mathfrak G(G)\) ein Gebiet. Dieser Satz und einige Hilfssätze über lineare elliptische Differentialgleichungen ermöglichen den Beweis des oben genannten Satzes. Zum Schluß erwähnt Verf. noch einige Verallgemeinerungen und praktische Anwendungen, so z. B. den Satz: Wenn die \textit{stetige} Funktion \(f(x, y, z, p, q)\) in \(z\) \textit{wesentlich} monoton wachsend ist, so hat jede Partikularlösung der Gleichung \[ \varDelta z - f(x, y, z, p, q) = \psi (x, y) \] ihre volle Umgebung.