The application of quadratic forms in an infinity of variables to boundary problems in partial differential equations . (Q566430)

Verf. gibt eine neue Herleitung der Eigenfunktionen und Eigenwerte der Randwertaufgabe der zweidimensionalen elliptischen Differentialgleichung \[ (pu_x)_x + (pu_y)_y - qu + \lambda \varrho u = 0 \text{in einem Gebiet } G, \] \[ \frac {\partial u}{\partial n} + \sigma u = 0 \text{auf dem Rande } \varGamma \text{ von } G \] \[ (p>0,\quad q \geqq 0,\quad \varrho \geqq 0,\quad \sigma \geqq 0). \] Er macht dabei keinen Gebrauch von Minimalfolgen und der Theorie der Integralgleichungen; sein Verfahren beruht auf einer Simultantransformation zweier quadratischer Formen in unendlich vielen Variablen. Ist \(A(x,y)\) eine positiv definite und beschränkte, \(B(x,y)\) eine vollstetige Form, so lassen sich unter den Nebenbedingungen \(L_i(x) = 0 \quad (i=1,2,\dots ; \quad L_i\) beschränkte Linearformen) Zahlen \(k_i > 0, h_j > 0, k_i \to \infty, h_j \to \infty \) und ``Punkte'' \(l_1, l_2, \dots ; m_1, m_2, \dots \) finden, derart, daß \[ A(x,y) = \sum _{i=1}^\infty A(l_i, x) A(l_i, y) \quad + \sum _{j=1}^\infty A(m_j, x) A(m_j, y), \] \[ B(x,y) = \sum _{i=1}^\infty k_iA(l_i, x) A(l_i, y) - \sum _{j=1}^\infty h_jA(m_j, x) A(m_j, y). \] Diese Transformation, angewendet auf die Formen \[ \begin{gathered} D(\Phi ) = D(\xi,\xi ) = \iint _G (\Phi _z^2 + \Phi _y^2)\, dxdy = \sum _{i,j=1}^\infty a_{ij} \xi _i \xi _j, \\ H(\Phi ) = H(\xi,\xi ) = \iint _G \Phi ^2\, dxdy = \sum _{i,j=1}^\infty b_{i,j} \xi _i \xi _j \end{gathered} \] (die \(\xi _i\) sind die \textit{Fourier} koeffizienten der Funktion \(\Phi (x,y)\)) mit den Nebenbedingungen \(L_i(\xi ) = \sum _{j=1}^\infty \alpha _{ij} \xi _j = 0\) (wo bei die \(\alpha _i\) normiert-orthogonale Vektoren sind, für die \(D(\alpha _i,\alpha _i) = 0\) ist), ergibt die Eigenfunktionen \(\Phi _p\) und Eigenwerte \(\mu _p\) der Randwertaufgabe \[ \varDelta \varPhi + \mu \varPhi = 0 \text{ in }G,\quad \frac {\partial \varPhi }{\partial n}=0 \roman {auf} \;\varGamma . \] ähnliche Formen und Nebenbedingungen ergeben die Lösung der allgemeinen Randwertaufgabe.