Zur ersten Randwertaufgabe bei Monge-Ampèreschen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus; differentialgeometrische Anwendungen . (Q566443)

Sie \textit{Monge-Ampère}sche Differentialgleichung \[ E(u_{xx}u_{yy} - u_{xy}^2) + Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + D = 0, \] in welcher die Koeffizienten von \(x\), \(y\), \(u_x\), \(u_y\) abhängen, heißt elliptisch in bezug auf eine Lösung \(u\), wenn \(AC - B^2 - ED > 0\) nach Einsetzen von \(u_x\), \(u_y\). Für solche Lösungen wird die Eindeutigkeitsfrage bei der ersten Randwertaufgabe untersucht. An einem einfachen Beispiel wird gezeigt, daß auch bei beliebig kleinem Gebiet zwei Lösungen existieren können. Verf. beweist nun, daß allgemein \textit{höchstens} zwei Lösungen existieren können. In dem Falle, daß die Koeffizienten nur von \(x\), \(y\) abhängen, gibt es bekanntlich höchstens eine Lösung, wenn \(E \equiv 0\) ist. Verf. beweist darüber hinaus, daß Eindeutigkeit in dem genannten Falle schon besteht, wenn \(E\) in mindestens einem Punkte verschwindet. Zwei differentialgeometrische Avwendungen beschließen die Arbeit.