Sur les fonctions harmoniques conjuguées . (Q566471)

Es wird die folgende Frage gestellt: Angenommen, \(u\) und \(v\) seien harmonische Funktionen; wann est die Funktion \[ w=\log ((u+\lambda )^2 + (v+\mu )^2) \] für beliebige \(\lambda \) und \(\mu \) harmonisch? Verf. beweist, daß die notwendige und hinreichende Bedingung hierfür ist, daß \(u\) und \(v\) harmonisch konjugiert sind, und zieht dann einige Folgerungen auf das Verhalten analytischer Funktionen in der Nähe einer singulären Stelle (Prinzip von \textit{Picard}). Im Verfolg dieses Ergebnisses nennt der Verf. drei harmonische Funktionen im Raume \(u\), \(v\) und \(w\) konjugiert, wenn die Funktion \[ \varPhi = \sqrt {\frac {1}{(u+\lambda )^2 + (v+\mu )^2 + (w+\nu )^2}} \] für beliebige \(\lambda \), \(\mu \), \(\nu \) harmonisch ist, eine Definition, die sich unmittelbar auf beliebig viele Dimensionen erweitern läßt.