Quelques propriétés des fonctions polyharmoniques en corrélation avec certaines propriétés des polynomes . (Q566512)

Es sei \(f(P)\) eine analytische Funktion von \(\nu \) Veränderlichen. Verf. betrachtet die Ausdrücke \[ \mathfrak {M}_p[ f(M);r] = f(M) + \sum _{n=1}^{\infty } \frac {r^{2n}}{2^n n! \nu (2+\nu ) \dots (2n-2+\nu )} (\varDelta ^n f)_M, \] \[ \mathfrak {M}_s [f(M);r] = f(M) + \sum _{n=1}^{\infty } \frac {r^{2n}}{2^n n! (2+\nu ) \dots (2n+\nu )} (\varDelta ^n f)_M. \] Dies sind die Mittel der Funktion auf bzw. in einer Hypersphäre mit dem Mittelpunkt \(M\) und dem Radius \(r\) (vgl. Verf., Sur quelques valeurs moyennes des fonctions et leurs applications, Bulletin math. Soc. Roumaine (2) 31 (1929), 175; F. d. M. \(57_{\text{II}}\)). \(\varDelta ^n f\) ist der iterierte \textit{Laplace}sche Operator. Er untersucht, welche Funktionen \(u\) der Funktionalgleichung \[ \mathfrak {M}_s [ U(M);r] = k_1 U(M) + k_2 \mathfrak {M}_p [U(M);r] \] genügen, und gibt ohne Beweis eine Reihe von Lösungen, die zum Teil schon bekannt sind.