Sur les formules généralisées de médiation et les équations intégrales singulières correspondantes . (Q566513)

\(u(P)\) sei eine Funktion des Punktes \(P\) des \(p\)-dimensionalen Raumes. In Kap. I stellt Verf. Formeln für das über die Oberfläche bzw. das Innere einer Kugel genommene Mittel von \(u\) auf. Deise Formeln stellen, wenn \(M_0\) das Zentrum der Kugel und \(\varDelta \) der \textit{Laplace}sche Operator ist, die genannten Mittel als lineare Verbindung von \(u(M_0)\), \(\varDelta u (M_0) \dots, \varDelta ^{(n-1)} u (M_0)\), vermehrt um ein Restglied, dar, welches verschwindet, wenn \(u\) ``\(n\)-harmonisch'', d.h. \(\varDelta ^{(n)}u=0\) ist (``\(n\)-Mittelung''). Einige Anwendungen dieser Formeln beschließen das Kap. Kap. II ist in der Hauptsache der Aufstellung entsprechender Formeln gewidmet, deren Restglied jedoch verschwindet, wenn \(u\) ``\(n\)-metaharmonisch'' ist, d. h. der Gleichung \[ \vartheta ^{(n)} u \equiv \varDelta ^{(n)} u + \lambda _1\varDelta ^{(n-1)} u + \dots + \lambda _{n-1} \varDelta u + \lambda _n u = 0 \quad (\lambda _1, \dots, \lambda _n \text{ konstant}) \] genügt (``\(n\)-Metamittelung''). Als Anwendung wird eine für jede \(n\)-metaharmonische Funktion gültige Integralrelation aufgestellt. In Kap. III wird gezeigt, daß umgekehrt jede diese Integralrelation (für alle Kugeln von genügend kleinem Radius) befriedigende Funktion \(n\)-metaharmonisch ist, woraus sich auch für andere Formeln des zweiten Kap. die entsprechende Umkehrung ergibt. Kap. IV ist in der Hauptsache der Ausdehnung der \textit{Lebesgue}schen Methode (1912; F. d. M. 43, 368 (JFM 43.0368.*)) zur Behandlung des \textit{Dirichlet}schen Problems mittels einer singulären Integralgleichung auf entsprechende Aufgaben bei allgemeineren Gleichungen, z. B. \(\varDelta u = \varphi \) bei lediglich stetigem \(\varphi,\varDelta ^{(n)} u =\varphi \) (\textit{Riquier}sches Problem), \(\vartheta ^{(n)} u=\varphi \), gewidmet.