Remarques sur un théorème de moyenne de M. Luigi Amoroso . (Q566517)

\textit{Amoroso} hat gezeigt (1914; F. d. M. 45, 570 (JFM 45.0570.*)), daß für jede Lösung des simultanen Systems \[ \varDelta u \equiv \frac {\partial ^2 u}{\partial x_1^2} + \frac {\partial ^2 u}{\partial y_1^2} =0, \quad \varDelta \spacute u \equiv \frac {\partial ^2 u}{\partial x_2^2} + \frac {\partial ^2 u}{\partial y_2^2} =0, \] \[ Lu \equiv \frac {\partial ^2 u}{\partial x_1 \partial x_2} + \frac {\partial ^2 u}{\partial y_1 \partial y_2} =0, \quad L\spacute u \equiv \frac {\partial ^2 u}{\partial x_1 \partial y_2} - \frac {\partial ^2 u}{\partial y_1 \partial x_2} =0 \] die folgenden Integralgleichungen gelten und umgekehrt: \[ I \equiv u(x_1, y_1, x_2, y_2) - \frac {1}{4\pi ^2} \int _0^{2\pi } \int _0^{2\pi } u(X_1, Y_1, X_2, Y_2) d\vartheta _1 d\vartheta _2 =0, \] \[ J\equiv \int _0^{2\pi } \int _0^{2\pi } u(X_1,Y_1,X_2,Y_2) \cos (\vartheta _2-\vartheta _1) d\vartheta _1 d\vartheta _2 =0, \] \[ J\spacute \equiv \int _0^{2\pi } \int _0^{2\pi } u(X_1,Y_1,X_2,Y_2) \sin (\vartheta _2-\vartheta _1) d\vartheta _1 d\vartheta _2 =0, \] wobei die Abkürzungen \[ X_\nu = x_\nu + R_\nu \cos \vartheta _\nu,\quad Y_\nu =y_\nu +R_\nu \sin \vartheta _\nu \] gebraucht sind. Verf. zeigt nun, daß aus \(Lu=0\) allein schon \(J=0\) folgt und umgekehrt, ebenso aus \(L\spacute u=0\) allein schon \(J\spacute =0\) und umgekehrt. Sodann einige Bemerkungen über die Abhängigkeit der drei Integralgleichungen voneinander; z. B: aus \(I=0\), \(J=0\) folgt bereits \(J\spacute = \text{const}.\) (IV 7.)