Sur quelques équations aux dérivées partielles . (Q566518)

Es handelt sich um die Gleichung \[ \frac {\partial }{\partial x_1} \left (\sum _2^n \frac {\partial ^2 u}{\partial x_j^2}\right ) =0\quad (n=2,\dots ), \] die für \(n=3\) sich in eine von \textit{Humbert} (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 280) studierte Gleichung überführen läßt. Es werden Integrale angegeben und gezeigt, wie sich viele weitere finden lassen. So ergibt sich z. B: Sind \(A\), \(B\), \(C\) drei Funktionen einer Variablen \(U\), verbunden durch \[ A^3 + B^3 + C^3 -3ABC =0 \] und wird \(U=U(x,y,z)\) definiert durch \[ (A^2-BC)(x^2-yz) + (B^2-CA) (y^2-zx) + (C^2-AB) (z^2-xy)=1, \] so ist \(U\) Integral der \textit{Humbert}schen Gleichung \[ \frac {\partial ^3 U}{\partial x^3} + \frac {\partial ^3 U}{\partial y^3} + \frac {\partial ^3 U}{\partial z^3} - \frac {\partial ^3 U}{\partial x \partial y \partial z} =0. \]