Extension d'un théorème de M. F. Riesz aux fonctions sous-harmoniques d'ordre \(p\) . (Q566530)

Eine subharmonische Funktion \(u(A), A=A(x_1, \dots, x_n)\), der Ordnung \(p\) genügt nach einem früheren Ergebnis des Verf. (1931; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 579) in einem Gebiet \(D\) des Raumes der \(x_1, \dots, x_n\) der Relation \[ (-1)^p \varDelta ^{(p)} u(A) \leqq 0, \quad \text{wobei } \varDelta ^\varrho =\varDelta (\varDelta ^{\varrho -1}) \text{ für } \varrho = 2, \dots, p, \varDelta ^1=\varDelta, \tag{"(*)"} \] und umgekehrt. Dabei wird die Existenz stetiger partieller Ableitungen bis zur Ordnung \(2p\) einschließlich vorausgesetzt. Bekanntlich verdanken andererseits die subharmonischen Funktionen (erster Ordnung) \(u(A)\) ihren Namen der Beziehung \[ u(A) \leqq U(A) \] zu harmonischen Funktionen \(U(A)\) (erster Ordnung) in einem Gebiet \(D\spacute \) innerhalb \(D\) von der Beschaffenheit, daß auf dem Rand \(F\spacute \) von \(D\spacute u=U\) gilt. Gilt eine analoge Eigenschaft für subharmonische Funktionen \(p\)-ter Ordnung? Die Antwort fällt positiv aus: \[ u(A) \leqq U(A), \] wenn man wiederum nur die Existenz stetiger Ableitungen bis zur Ordnung \(2p\) einschließlich voraussetzt und die übrigen Bedingungen analog überträgt: \[ U\equiv u,\quad \varDelta U \equiv \varDelta u,\dots,\quad \varDelta ^{p-1} U \equiv \varDelta ^{p-1} u \] auf dem Rand \(F\spacute \) eines Gebietes \(D\spacute \) innerhalb \(D\). Die Beweisführung benutzt (*) (vgl. Verf., loc. cit.; \textit{F. Riesz}, F. d. M. 52, 497 (JFM 52.0497.*)).