Nouveaux problèmes sur les équations aux dérivées partielles du second ordre et du type hyperbolique . (Q566553)

Es handelt sich um Randwertaufgaben, welche in gewissem Sinne Verallgemeinerungen bisher bekannter darstellen. 1) Gegeben sei nämlich \[ \frac {\partial ^2 z}{\partial x \partial y} = f(x,y); \tag{1} \] gesucht eine Lösung, welche im Rechteck \(R=(0,0;a,b)\) den folgenden Randbedingungen genügt: \[ \int \limits _0^b z (x,s)d\alpha (s) = g(x),\quad \int \limits _0^a z (s,y)d\beta (s) = h(y). \tag{"(1a)"} \] Dabei bezeichnen \(\alpha (s),\beta (s)\) gegebene Funktionen von beschränkter Variation, ferner \(g(x),h(y)\) gegebene, differenzierbare Funktionen. Für die Lösbarkeit ist notwendig, daß zwischen \(f,g\) und \(h\) eine gewisse Integralbeziehung besteht. Alsdann gibt es genau eine, übrigens durch Quadraturen darstellbare, Lösung (dabei ist \(f\) als beschränkt angenommen, nähere Voraussetzungen über \(f\) sind nicht angegeben). 2) Gesucht eine im Winkel \(\alpha \leqq \theta \leqq \beta \) mit \(0 \leqq \alpha < \beta \leqq \frac {\pi }{2}\) definierte Lösung von (1), welche den Bedingungen genügt: \[ \begin{aligned} z(t \cos \alpha, t \sin \alpha ) + \int \limits _{\alpha }^{\beta } z(t \cos \theta, t \sin \theta ) p(\theta ) d\theta = m(t), \\ z(t \cos \beta, t \sin \beta ) + \int \limits _{\alpha }^{\beta } z(t \cos \theta, t \sin \theta ) q(\theta ) d\theta = n(t), \end{aligned} \tag{"(2a)"} \] wobei \(m,n,p,q\) gegebene (noch gewissen Bedingungen genügende) Funktionen bedeuten. Die Bestimmung der Lösung erfolgt durch Zurückführung auf Integralgleichungen, welche sich durch schrittweise Näherung auflösen lassen. Die Ergebnisse 1) und 2) gelten auch für \[ \frac {\partial ^2z}{\partial x \partial y} = \lambda \left (a\frac {\partial z}{\partial x}) + b\frac {\partial z}{\partial y} +cz\right ) + f(x,y) \] bei kleinem \(| \lambda | \), wie durch die Methode der schrittweisen Näherung gezeigt werden kann. - Keine Beweise.