Über eine Entwicklung der Lösung der Telegraphengleichung nach Besselschen Funktionen. . (Q566557)

Es handelt sich um Reihenentwicklungen der Lösung \[ J=Cv\int \limits _0^{t-\frac {x}{v}} e^{-\varrho (t-\tau )} \varphi \spacute (\tau ) J_0 \left (i\varrho \sqrt {(t-\tau )^2-\frac {x^2}{v^2}}\right )d\tau \quad (x \leqq vt) \] der Telegraphengleichung, die in einer früheren Arbeit des Verf. (1930; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 997) skizziert und hier ergänzt werden. Das Ergebnis ist: \[ J=-iC\sqrt {t^2v^2-x^2} \sum _{j=1}^{\infty } \Bigg \{ \frac {A_{2j}}{2j^2} J_0\left ( i\varrho \sqrt {t^2-\frac {x^2}{v^2}}\right ) J\spacute _{2j}\left ( i\varrho \sqrt {t^2-\frac {x^2}{v^2}}\right ) \] \[ -J\spacute _0\left ( i\varrho \sqrt {t^2-\frac {x^2}{v^2}}\right ) J_{2j} \left (i\varrho \sqrt {t^2-\frac {x^2}{v^2}}\right ) \Bigg \}, \] wo die Koeffizienten \(A_{2j}\), die zunächst als Integrale von der Form \(\frac {1}{2\pi i}\int F(z)O_{2j} (z)dz\) (\(O_{2j}(z)\) \textit{Neumann}sche Polynome von \(\frac {1}{z}\)) dargestellt werden, sich aus einer Rekursionsformel bestimmen lassen.