The problem of Bolza in the calculus of variations . (Q566616)

Es soll in der Klasse der Kurvenbögen \[ Y_i=Y_i(x)\quad (i=1,\dots, n;x_1\leqq x\leqq x_2), \] welche die Differentialgleichungen und Endbedingungen \[ \varphi _\alpha (x,y,y\spacute )=0\quad (\alpha = 1,\dots, m<n), \] \[ \psi _\mu (x_1,y(x_1), x_2, y(x_2)) =0\quad (\mu =1,\dots, p\leqq 2n+2) \] erfüllen, ein Bogen gefunden werden, der den Ausdruck \[ I=G(x_1,y(x_1), x_2, y(x_2)) +\int \limits _{x_1}^{x_2}f(x,y,y\spacute )dx \] zu einem Minimum macht. Im Anschluß an Arbeiten von \textit{Mayer} (1884, 1896; F. d. M. 16, 326 (JFM 16.0326.*); 27, 291) und \textit{Hahn} (1911; F. d. M. 42, 402 (JFM 42.0402.*)) wird eine notwendige Bedingung, die analog der \textit{Jacobi}schen für einfachere Probleme ist, aufgestellt, die im Verein mit den üblichen Bedingungen einen hinreichenden Beweis für ein Minimum gestattet. Bemerkenswert ist, daß das Analogon der \textit{Jacobi}schen Bedingung mit Hilfe der Eigenwerte einer endlichen quadratischen Form formuliert wird, anstatt daß, wie sonst, auf die Eigenwerte eines Randwertproblems zurückgegriffen wird.