On the Weierstrass condition for the problem of Bolza in the calculus of variations . (Q566617)

Verf. behandelt das Problem von \textit{Bolza}: Funktionen \[ y_i=y_i(x) \quad (i=1,2,\dots,n; x_1\leqq x\leqq x_2) \] bei den Neben- und Anfangsbedingungen \[ \varphi _\alpha (x,y,y\spacute )=0\quad (\alpha = 1,2,\dots, m<n), \] \[ \psi _\mu (x_1,y(x_1), x_2, y(x_2)) =0\quad (\mu =1,2,\dots, p\leqq 2n+2) \] zu finden, welche dem Ausdruck \[ I= \int \limits _{x_1}^{x_2}f(x,y,y\spacute )dx + G(x_1,y(x_1), x_2, y(x_2)) \] ein Minimum erteilen, nach der Methode von \textit{Bliss} (s. vorstehendes Referat). Man Setze: \[ \varPsi _\mu (\xi,\eta )= \frac {\partial \psi _\mu }{\partial x_1}\xi _1 + \frac {\partial \psi _{\mu }}{\partial x_2}\xi _2 + \frac {\partial \psi _{\mu }}{\partial y_{i1}}\eta _i(x_1) + \frac {\partial \psi _{\mu }}{\partial y_{i2}}\eta _i(x_2) \] und \[ F(x,y,y\spacute,\lambda )=\lambda _0f(x,y,y\spacute ) +\lambda _\alpha \varphi _\alpha (x,y,y\spacute ). \] Hat dann die Matrix \[ \|\varPsi _\mu \psi (\xi _\sigma, \eta _\sigma ) \| \quad (\mu,\sigma =1,2,\dots,p) \tag{1} \] für alle zulässigen Variationen \((\xi _\sigma, \eta _\sigma )\) des Extremalenbogens \(E_{12}\) den maximalen Rang \(p\), so besteht die \textit{Weierstraß}sche Bedingung \[ E(x,y,y\spacute,\lambda,Y\spacute ) = F (x,y,y\spacute,Y\spacute,\lambda ) - F (x,y,y\spacute,\lambda ) - (Y\spacute _i - y\spacute _i) F_{y\spacute _i} (x,y,y\spacute,\lambda ) \geqq 0 \] für jedes Element \((x,y,y\spacute,\lambda )\) des Bogens \(E_{12}\) und für jedes \(Y\spacute \) mit zulässigem \((x,y,Y\spacute )\). Ist der Rang von (1) dagegen von \(p\) verschieden, so tritt noch eine Reihe von weiteren Bedingungen, die sich auf gewisse Matrizen beziehen, hinzu.