Adjoint systems in the problem of Mayer under general end-conditions . (Q566619)

Verf. formuliert das \textit{Mayer}sche Problem folgendermaßen : Er nennt einen Kurvenbogen \[ y_i=y_i(x) \quad (i=1,\dots,n; x^1\leqq x\leqq x^2) \] zulässig, wenn er die Bedingungen \[ \varphi _\beta (x,y,y\spacute )=0\quad (\beta = 1,\dots, m<n) \tag{1} \] erfüllt, und wenn die Endpunkte den Gleichungen \[ x^s=x^s(\alpha _1,\dots,\alpha _r),\quad y_i(x^s)=y_i^s(\alpha _1, \dots, \alpha _r) \quad (s=1,2) \tag{2} \] für irgendein Wertsystem \((\alpha )\) genügen, und ein solches System zulässig, wenn es zu den Endpunkten einer zulässigen Kurve gehört. Der Bogen \(E:y_i= \overline {y_i}(x)\) gehöre zu \((\alpha ) = (0)\), und längs \(E\) gabe die Matrix \(\left \|\frac {\partial \varphi _\beta }{\partial y\spacute _i}\right \|\) den Rang \(m\). Unter welcher Bedingungen liefert \(E\) für \(\alpha _1\) ein Minimum unter zulässigen Systemen \((\alpha )\) und zugehörigen zulässigen Kurvenbögen? Als Hilfsmittel dient die Theorie adjungierter Systeme von Differentialgleichungen. Die Variationsgleichungen von (1) sind von der Form \[ L_\beta (\eta )\equiv p_{\beta i}\eta _{i}\spacute + q_{\beta i}\eta _i =0 \quad \left (\begin{gathered} i=1,\dots,n\\ \beta =1,\dots,m \end{gathered} \right ), \tag{3} \] wobei die Matrix \(\| p_{\beta i}\|\) den Rang \(m\) besitzt. Das zu diesem ``adjungierte'' System ist \[ M_i(\lambda )\equiv -\frac {d}{dx}(p_{\beta i}\lambda _\beta ) + q_{\beta i}\lambda _\beta =0; \tag{4} \] es ist ja, in leicht verständlicher Bezeichnungsweise, \[ \int \limits _{x^1}^{x^2} (\lambda _\beta L_\beta (\eta ) - \eta _i M_i(\lambda )) dx= [p_{\beta i}^s \lambda _{\beta i}^s \eta _{\beta i}^s]_1^2. \tag{5} \] Die Randwerte \(\eta _i^s\) sollen mit beliebigen Zahren \(u_h\) den Bedingungen \[ \eta _i^s=c_{ih}^s u_h \quad (h=1,\dots,r) \tag{6} \] genügen, die \(\lambda _\beta \) den dazu ``adjungierten Randbedingungen'' \[ [p_{\beta i}^s \lambda _\beta ^s c_{ih}^s]_1^2 =0 \tag{7} \] (so daß die rechte Seite von (5) immer null ist). Verf. beweist folgenden Hilfssatz: Dafür, daß das adjungierte System (4), (7) nicht identisch verschwindende Lösungen besitzt, ist notwendig und hinreichend, daß immer \[ |\eta _{ij}^s-{\overline \eta }_{ij}^s| =0 \quad (i=1,\dots,n;j=1,\dots,2n; s=1,2) \tag{8} \] ist, wenn \(\eta _{i1}^s,\dots,\eta _{i2n}^s\) die Randwerte von irgendwelchen \(2n\) Lösungen von (3) sind und \({\overline \eta }_{i1}^s,\dots,{\overline \eta }_{i2n}^s\) irgendwelche \(2n\) Wertsysteme, die mit \(2n\) Wertsystemen \((u)\) die Gleichungen (6) erfüllen. Zum \textit{Mayer}schen Problem zurückkehrend setze man \[ c_{ih}^s = y_{ih}^s - {\overline {y}\spacute _i}^s x_h^s, \tag{9} \] wobei der Index \(h(=1,\dots,r)\) Differentiation nach \(\alpha _h\) bedeutet. Dann sind (6) die ``variations-Randbedingungen''. Als notwendige Bedingung für das Minimum erweist sich nun, daß immer \[ |\eta _{ij}^s - {\breve \eta }_{ij}^s| =0 \] ist, wenn \(\eta _{ij}^s \) dieselbe Bedeutung wie in (8) hat, jedoch \[ {\breve \eta }_{ij}^s = c_{ip}^s u_{pj} \] ist, wo der Index \(p\) nur von 2 bis \(r\) läuft. Wendet man jetzt den Hilfssatz an, so folgt die Existenz von \(m\) ``Multiplikatoren'' \(\lambda _\beta (x)\); denn mit \(F=\lambda _\beta \varphi _\beta \) lauten die Gleichungen (4): \[ \frac {d}{d x}F_{y_i} =F_{y_i} =0, \tag{10} \] und aus den Randbedingungen (7) mit \(p\) statt \(h\) erhält man folgende Identität in den \(d\alpha \): \[ [F_{y\spacute _i}^s (dy_{y_i}^s - {\overline {y}\spacute _{i}}^s dx^s)]_1^2 + Kd\alpha _1 =0, \tag{11} \] wo \(K\) eine Konstante ist. \(E\) heißt normal, wenn man die Gleichungen (10), (11) nur mit \(K\neq 0\) erfüllen kann. Im anormalen Fall gibt es daher Funktionen \(\lambda _\beta \), die den Gleichungen (4), (7) mit \(h=1,\dots, r\) genügen; nach dem Hilfssatz ist also für Normalität notwendig und hinreichend, daß es eine nicht verschwindende Determinante \[ |\eta _{ij}^s - {\overline {\eta }_{ij}}^s| \] gibt, wo die Zeichen dieselbe Bedeutung haben wie in (8).