Déterminantion explicite de certains minima dans les problèmes sans conditions aux limites . (Q566632)

Es sei \(y(x)\) eine in \((0,1)\) stetige Funktion mit stückweise stetiger Ableitung, und man setze \[ X=\frac {\frac {1}{2}\left (y^2(0)+y^2(1)\right )}{\int \limits _0^1 y^2dx},\quad Y=\frac {\int \limits _0^1 {y\spacute }^2dx}{\int \limits _0^1 y^2dx}. \] Für \(X=0\) (verschwindende Randwerte) ist bekanntlich immer \(Y\geqq \pi ^2\). Mit Hilfe von \textit{Courant} angegebener Methoden der Variationsrechnung (1926; F. d. M. 52, 512 (JFM 52.0512.*)) wird bewiesen, daß ohne Voraussetzung über die Randwerte der Punkt \((X,Y)\) stets oberhalb oder auf der Kurve liegt, die aus den beiden Stücken \[ x=t\frac {1+\cos t}{t+\sin t},\quad y=t^2\frac {t-\sin t}{t+\sin t} \quad (0\leqq t \leqq \pi ), \] \[ x=t\frac {1+\cosh t}{\sinh t+t}, \quad y=t^2\frac {\sinh t-t}{\sinh t+t} \quad (0\leqq t) \] besteht.