Sui confini della probabilità. (Q566666)

Verf. gibt einen Überblick über die Untersuchungen, die von zahlreichen Autoren an den bekannten Satz von \textit{Bienaymé-Tschebyscheff} geknüpft worden sind. Die ursprünglich von \textit{Tschebyscheff} aufgeworfene Frage war folgende: Sind die Werte der \(m\) Integrale \[ \int _a^b f(x)dx,\;\int _a^b x f(x) dx, \dots \int _a^b x^{m-1}f(x) dx \] bekannt, wobei \(f(x)\) eine zwischen \(a\) und \(b\) positive Funktion ist, so sollen die besten (d.h. die größte untere und die kleinste obere) Schranken des Integrals \[ \int _a^vf(x)dx \text{ mit } v\leq b \] bestimmt werden. Die von \textit{Tschebyscheff} selbst stammende Lösungsmethode für den allgemeinen Fall ist praktisch nicht anwendbar; nur für \(m=3\) hat \textit{Tschebyscheff} geeignete Lösungsformeln angegeben. Um das \textit{Bernoulli}sche Theorem der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf elementarem Wege zu bewiesen, griff \textit{Tschebyscheff} auf eine ehedem von \textit{Bienaymé} ersonnene Methode zurück, die zu dem wichtigen Satz von \textit{Bienaymé-Tschebyscheff} führte: Sei \(f(x)\) eine positive Funktion, \(\alpha \) beliebig reell und \[ \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1,\quad \int _{-\infty }^\infty f(x)(x-\alpha )^2 dx=\mu _2, \] so gilt für beliebiges \(\lambda >0\) \[ 1-\frac 1{\lambda ^2}\leq \int _{\alpha -\lambda \cdot \sqrt {\mu _2}}^{\alpha +\lambda \cdot \sqrt {\mu _2}}f(x)dx \leq 1. \] Dieser Satz wurde zum Ausgangspunkt einer Reihe von ähnlichen Ergebnissen, die alle auf genau demselben \textit{Bienaymé}schen Gedankengang beruhen und daher im wesentlichen nichts Neues darstellen. Genannt werden davon in chronologischer Reihenfolge: die 1909 von \textit{Medolaghi} angegebene Formel: \[ 1-\frac {\mu _{2k}}{\lambda ^{2k}\cdot \mu ^k_2}\leq \int _{\alpha -\lambda \sqrt {\mu _2}}^{\alpha +\lambda \sqrt {\mu _2}}f(x)dx \leq 1, \text{ wo } \mu _{2k}=\int _{-\infty }^\infty f(x)(x-\alpha )^{2k}dx, \] und die allgemeineren, 1910 von \textit{Cantelli} hergeleiteten Formeln: \[ \begin{gathered} 1-\frac {\mu _n}{\lambda ^n\cdot \mu _2^{\frac n2}} \leq \int _{\alpha -\lambda \sqrt {\mu _2}}^{\alpha +\lambda \sqrt {\mu _2}} f(x)dx \leq 1, \text{ wo } \mu _n= \int _{-\infty }^\infty f(x).|x-\alpha |^ndx, \\ \text{und} \int _{-\infty }^{\alpha +\varepsilon }f(x)dx \geq 1-\frac {\int _{-\infty }^\infty f(x)/cdot G(x-\alpha )dx}{G(\varepsilon )}, \end{gathered} \] wo \(\varepsilon >0\) beliebig und \(G(x-\alpha )\) eine beliebige positive, rechts von \(x=\alpha +\varepsilon \) nicht abnehmende Funktion ist. Die von weiteren Autoren (\textit{Guldberg, Lurquin, Sludsky}) erzielten Resultate sind bereits in diesen älteren Formeln erhalten. Die auf diesem Wege gewonnenen Abschätzungen sind aber bei weitem nicht die bestmöglichen. Verf. wiederholt daher seinen bereits 1910 und 1911 ausgesprochenen, leider bisher unbeachtet gebliebenen Hinweis auf die ursprüngliche Fragestellung \textit{Tschebyscheff}s, die das Auffinden möglichst guter Schranken zum Ziel hat, und skizziert die von ihm selbst in zwei Arbeiten 1910 und 1911 in dieser Richtung erreichten Ergebnisse. In enger Anlehnung an die \textit{Bienaymé}sche Abschätzung gelangt \textit{Cantelli} in der genannten Arbeit von 1910 zu einer verbesserten unteren Schranke des Integrals nur dadurch, daß er die in seiner oben genannten verallgemeinerten Formel Auftretende Funktion \(G(x-\alpha )\) in Abhängigkeit von einem Scharparameter \(r\) variieren läßt, der dann dergestalt bestimmt wird, daß die fragliche untere Schranke \[ 1-\frac {\int _{-\infty }^\infty f(x)G(x-\alpha,r)dx}{G(\varepsilon,r)} \] zum Maximum werde. In der einschlägigen Arbeit von 1911 (vgl. F. d. M. 42, 253 (JFM 42.0253.*) gelingt dagegen \textit{Cantelli} allgemein eine Verschärfung aller in der obigen Formeln auftretenden Schranken durch die Herleitung des folgenden Satzes, der eine Erweiterung der von \textit{Tschebyscheff} gegebenen Lösung des Problems für \(m=3\) darstellt: Ist \(X\) eine Zufallsvariable, deren mögliche Werte zwischen \(m\) und \(n\) liegen, und sind \(\alpha \) und \(\sqrt {\mu _2}\) ihr Mittelwert und ihre mittlere Abweichung, also \[ \int _m^n xf(x)dx =\alpha,\quad \int _m^n (x-\alpha )^2\cdot f(x)dx=\mu _2, \] so gelten für die Wahrscheinlichkeit \[ P=\int _m^vf(x)dx \text{ mit } v\leq n \] die folgenden Abschätzungen: \[ \begin{alignedat}{2} 0&\leq P\leq \frac {\mu _2}{\mu _2+(v-\alpha )^2}, &\text{ wenn }&v<\alpha -\frac {\mu _2}{n-\alpha },\\ \frac {(v-\alpha )^2}{\mu _2+(v-\alpha )^2} &\leq P\leq 1, &\text{ wenn } &v>\alpha +\frac {\mu _2}{\alpha -m},\\ \frac {(n-\alpha )(v-\alpha )+\mu _2}{(n-m)(v-m)} &\leq P \leq \frac {(n-\alpha )(\alpha +n-m-v)-\mu _2} {(n-m)(n-v)}, &\text{ wenn } \alpha -\frac {\mu _2}{n-\alpha }<&v<\alpha +\frac {\mu _2}{\alpha -m}.\\ \end{alignedat} \]