Sur quelques questions de calcul des probabilités. (Q566672)

Die Note enthält vier Erweiterungen bzw. Berichtigungen zu des Verf.s Buch ``Calcul des probabilités'' (1925; F. d. M. 51, 380 (JFM 51.0380.*)). I. Behandelt die Konvergenz von Summenverteilungen \(F_n(x)\) gegen eine Grenzverteilung \(F(x)\). Bewiesen wird: Bezeichnet \(\varphi _n(t)\) die charakteristische Funktion zu \(F_n(x)\), d.h. den Erwartungswert von \(e^{itx}\), und konvergieren die \(\varphi _n(t)\) in jedem endlichen Intervall gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion \(\varphi (t)\), so streben die \(F_n(x)\) gleichmäßig gegen ein echtes Grenzgesetz \(F(x)\), für das also \(F(\infty )-F(-\infty )=1\) gilt. Der Beweis für die letzte Beziehung, der bisher Schwierigkeiten machte, ergibt sich sehr einfach unter Ausnutzung der Gleichmäßigkeit der Konvergenz der \(\varphi _n(t)\) um den Punkt \(t=0\) herum. \(\varphi (t)\) ist natürlich die charakteristische Funktion zu \(F(x)\). II. Neue Beispiele von Funktionen, deren sämtliche Momente verschwinden. III. Bemerkungen zur Formel \[ H(z)=\int _{-\infty }^{+\infty }G(z-x)dF(x), \] wo \(F(x)\), \(G(y)\) und \(H(z)\) Summenverteilungen unabhängigen Variablen \(x\) und \(y\) und ihrer Summe \(z\) bedeuten. IV. Über einen Fehler in den Grundlagen der Maßtheorie; eine Ergänzung zu p. 330 des oben zitierten Buches.