Über die Summe mehrerer zufälliger Veränderlichen mit konstanten Verteilungsgesetzen. (Q566674)

Unter Zuhilfenahme der ``charakteristischen Funktion'' beweist Verf. noch einmal den bereits 1982 (Una quistione di probabilità, Atti \(1^0\) Congr. naz. di Sci. d. Assic., Torino 1928; F. d. M. \(57_{\text{II}}\)) auf bedeutend mühevollerem Wege von ihm bewiesen Satz, daß die Wahrscheinlichkeitsdichte \(\mathfrak P(y)\) der Summe \[ y=x_1+x_2+ \dots +x_n \] von \(n\) zufälligen Variablen \(x_h\) mit demselben Wertegebiet \((a,b)\) und konstanter Wahrscheinlichkeitsdichte \[ p(x)=\frac 1{b-a} \] ausgedrückt wird durch \[ \mathfrak P(na+(s-\Theta )(b-a))=\frac 1{b-a}\cdot \frac 1{(n-1)!}\cdot B_s^{n-1}(\Theta ) \begin{cases} s=0,1,2, \dots, n-1;\\ 0\leq \Theta \leq 1 \\ \end{cases} \] wo \(b_s^{n-1}\) ein aus der Theorie der \textit{Bernoulli}schen Zahlen bekanntes Polynom \(n-1\)-ten Grades \[ B_s^{n-1}(\Theta )=\sum _{r=0}^s(-1)^r\binom nr\cdot (\Theta +s-r)^{n-1} \] bezeichnet. Durch die Anwendung des bekannten Satzes, daß die charakteristische Funktion der Summe mehrerer Zufallsvariablen gleich dem Produkt der charakteristischen Funktionen ihrer Glieder ist, findet man als charakteristische Funktion von \(y\) (für \(a=0\), \(b=1\)): \[ \varphi (t)=\left (\frac {e^{it}-1}{it}\right )^n \] und hieraus mit Hilfe der \textit{Fourier}schen Umkehrung der Definitionsgleichung \[ \varphi (t)=\int {\mathfrak P}(y)e^{iyt}dy \] der charakteristischen Funktion von \(y\) dessen Wahrscheinlichkeitsdichte \[ \mathfrak P(y)=\frac 1{2\pi }\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\left (\frac {e^{it}-1}{it}^n\right )\cdot e^{-iyt}dt, \] wo des Sternchen über dem Integral dessen Hauptwert im Sinne \textit{Cauchy}s andeutet. Durch sukzessive Differentiation ergibt sich die \((n-1)\)-te Ableitung von \(\mathfrak P(y)\) \[ {\mathfrak P}^{n-1}(y)=\frac {(-1)^{n-1}}2 \cdot \sum _{r=0}^n (-1)^r \cdot \binom nr \cdot D(r-y) \text{ mit } D(\alpha )= \begin{cases} -1&\text{für}~\alpha <0,\\ 0&\text{für}~\alpha =0,\\ +1&\text{für}~\alpha >0 \end{cases} \] als stückweise konstante Funktion mit den Unstetigkeitsstellen \(y=1,2,\dots,n-1\). Mithin ist \(\mathfrak P(y)\) selbst ein Polynom \((n-1)\)-ten Grades, dessen (in den ganzzahligen \(y\)-Werten sich änderde) Koeffizienten sich ohne weiteres berechnen lassen; damit ist die gesuchte Darstellung von \(\mathfrak P(y)\) durch die Polynome \(B_s^{n-1}\) erreicht. Überdies liefert die Anwendung des bekannten Konvergenzsatzes: ``Wen die charakteristische Funktion eines von einem Parameter \(n\) abhängenden Verteilungsgesetzes \(p_n\) für \(n\to \infty \) gegen die charakteristische Funktion eines festen Verteilungsgesetzes \(bar p\) gleichmäßig konvergiert, so konvergiert auch \(p_n\) selbst für \(n\to \infty \) gegen \(\bar p\)'' eine recht brauchbare asymptotische Darstellung der Polynome \(B\): \[ B_s^{n-1}(\Theta )\sim (n-1)!\sqrt {\frac 6{\pi n}}\cdot e^{6n\left (\frac {s+\Theta }n-\frac 12\right )^2}\quad (n\to \infty ) \] oder unter Berücksichtigung der \textit{Stirling}schen Formel: \[ B_s^{n-1} (\Theta ) \sim \sqrt {12}\cdot n^{n-1}\cdot e^{-\frac 52n+6(s+\Theta )\left (1-\frac {s+\Theta }n\right )}\quad (n\to \infty ). \]