Sulla forma generale di un processo stocastico omogeneo. (Un problema di Bruno de Finetti.) (Q566691)

Es sei \(X(\lambda )\) eine reelle Variable, die in stochastischer Abhängigkeit von der Zeit \(\lambda \) variiere, und deren Wahrscheinlichkeitsverteilung \[ \Phi _\Delta (x) =P\left \{X(\lambda _2)-X(\lambda _1)<x\right \}\quad (\lambda _2>\lambda _1), \] wo \(P\left \{\dots \right \}\) die Wahrscheinlichkeit der eingeklammerten Relation bedeutet, ausschließlich von \(\Delta =\lambda _2 -\lambda _1\) abhänge; dann genügt bekanntlich die Verteilungsfunktion der Funktionalgleichung \[ \Phi _{\Delta _1+\Delta _2}\left ( x\right )=\int _{-\infty }^\infty \Phi _{\Delta _1} (x-y)d\Phi _{\Delta _2}(y). \] Verf. bestimmt nun unter der einzigen Voraussetzung, daß die ersten beiden Momente \[ m_{\Delta }= \int _{-\infty }^\infty xd\Phi _{\Delta }\left ( x\right ), \sigma _\Delta ^2=\int _{-\infty }^\infty \left (x-m_\Delta \right )^2d\Phi _\Delta \left (x\right ) \] endlich seien, die allgemeine Lösung dieser Funktionalgleichung. Da \(\Phi \left (t\right )\) mittels der bekannten Formel \[ \Phi _\Delta (x)-\Phi _\Delta (0)=\frac 1{2\pi }\cdot \int _{-\infty }^\infty \frac {1-e^{-itx}}{it}\psi _\Delta (t)dt \] eindeutig durch die zugehörige charakteristische Funktion \(\psi _\Delta (t)\), für welche \[ \psi _D(t)=\{\psi _1(t)\}^\Delta \] gilt, gegeben ist, ist die gestellte Aufgabe gelöst, sobald die allgemeinste Form für \(\psi _1(t)\) gefunden ist. Dies geschieht ausgehend von der von \textit{de Finetti} bewiesenen Tatsache \[ \psi _1(t)=\lim _{\Delta \to 0}e^{\frac 1\Delta (\psi _\Delta (t)-1)} \] durch Einführung der Funktion \[ F_\Delta (x)=\frac 1\Delta \cdot \int _{-\infty }^\infty x^2d\Phi _\Delta (x) \] und Grenzübergang \(\Delta \to 0\). Man erhält \[ \log \psi _1(t)=im_1t+\int _{-\infty }^\infty p(x,t)dF(x) \] mit \[ p(x,t)=\begin{cases} \frac {e^{itx}-1-itx}{x^2}&\text{ für }x\neq 0,\\ -\frac {t^2}2&\text{ für }x=0, \end{cases} \] wo \(F(x)\) (als Grenzfunktion von \(F_\Delta (x)\) für \(\Delta \to 0\)) eine reelle, nicht abnehmende, linksstetige Funktion mit den Endwerten \[ F(-\infty )=0,\quad F(+\infty )=\sigma _1^2 \] bezeichnet.