Sur les sauts de probabilité dans les évolutions stochastiques. (Q566692)

Ein stochastisches System besitze \(n\) mögliche Zustände; \(P(t_1,t_2)\) sei die Matrix der betreffenden Übergangswahrscheinlichkeiten für das Zeitintervall von \(t_1\) bis \(t_2\). Hängen die Übergangswahrscheinlichkeiten stetig von der Zeit ab, so genügen die P der Funktionalgleichung \[ P(t_1,t_3)=P(t_1,t_2)P(t_2,t_3),\tag{1} \] die von \textit{A. Kolmogoroff} (1931; F. d, M, \(57_{\text{I}}\), 613) behandelt wurde. Verf. läßt sprunghafte Änderungen zu, doch sollen die vier Grenzwerte \(P(t_1\pm 0,t_2\pm 0)\) existieren. Er führt die Sprungmatrix \(S(t)\) ein, mit deren Hilfe (1) übergeht in \[ P(t_1,t_3)=P(t_1,t_2-0)(\mathfrak E+S(t_2))P(t_2+0,t_3), \tag{2} \] wenn \(\mathfrak E\) die Einheitsmatrix bedeutet. Offenbar ist \(\mathfrak E+S(t_2)=P(t_2-0,t_2+0)\). Man kann eine Lösung von (2) mit vorgegeben Sprüngen konstruieren mit Hilfe des \textit{Volterra-Stjieltjes}schen Matrizenintegrals (vgl. die in F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 108 besprochene Note des Verf.)