Interpolation und genäherte Quadratur. (Q566904)

In dem vorliegenden Bande, der die Untersuchen aus zwei frühreren Arbeiten des Verf. (1931; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 671) systematisch zusammenfaßt und wesentlich erweitert, werden die Probleme der Interpolation und der Quadratur ganz aus der Differenzenrechnung, in deren Rahmen sie meist behandelt werden, herausgelöst und die Ergebnisse auf eine neue Form gebracht, die genauere Fehlerabschätzungen erlaubt. In Kap. I., das die Interpolation durch Polynome behandelt, wird eine Formel für das Interpolationspolynom hergeleitet, das mit der gegebenen Funktion an beliebigen Stellen in Funktionswert und einer vorgeschriebenen Anzahl von Abteilungen übereinstimmt, wobei sich eine sehr brauchbare Integralform des Restgliedes ergibt. In Kap. II. wird dann diese Formel für Restabschätzung der verschiedenen Newtonschen Quadraturformeln benutzt, wobei immer Wert auf die Einschließung des Integralwertes zwischen zwei Näherungswerte gelegt wird. Als Kernstück dieser Entwicklung bezeichnet Verf. den Satz: ``Es lassen sich bei beliebigen Argumentwerten \(a_0<a_1<\ldots< a_n \) stets \(n+1\) Konstanten \(L_0,L_1,\ldots,L_n\) und \(n\) Polynome \(n+1\)-ten Grades \(N_1(u),N_2(u),\ldots,N_n(u)\) auf eine einzige Art so wählen, daß die Gleichung \[ \int _{a_0}^{a_n} f(x) \,dx =L_0f(a_0)+L_1 f(a_1)+\dots + \int _{a_0}^{a_1} N_1(u)f^{(n+1)}(u)\,du+\ldots + \int _{a_{n-1}}^{a_n} N_n(u) f^{(n+1)}(u)\, du \] stattfindet, was auch \(f(x)\) sein mag'', und seine Verallgemeinerung entsprechend der im ersten Kap. abgeleiteten Interpolationsformel. In Kap. III leitet Verf. die wichtigsten Eigenschaften der Bernoullischen und Eulerschen Polynome mittels ``Fredholmscher Operationen'' mit Benutzung verschiedener Kerne her und gewinnt so einen direkten Zugang zu dem Euler-Maclaurinsche und die Booleschen Theorem, d. h. zu der Entwicklung beliebiger Funktionen nach Bernoullischen bzw. Eulerschen Polynomen. Kap. IV bringt schließlich die Euler-Maclaurinsche und die Boolesche Quadraturformeln (vgl. \textit{Crout}, 1929, F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 945), wobei mittels der Sätze des vorhergehenden Kap. verschiedene obere und untere Schranken für das Restglied gewonnen werden. Aus der Euler-Maclaurinschen Quadraturformeln werden dann wieder die Simpsonsche Regel und die zweite Newtonsche Quadraturformel mit neuen Formen des Restgliedes hergeleitet.