On interpolation by iteration of proportional parts, without the use of differences. (Q566910)

Verf. führt die Interpolation beliebig hoher Ordnung ähnlich wie \textit{Jordan} (vgl. vorstehendes Referat) auf wiederholte lineare Interpolationen zurück, die mit der Rechenmaschine ohne Benutzung von Differenzen, aber auch ohne Benutzung von Tabellen, durchgeführt werden können. Bezeichnet man nämlich die Parabel durch drei Punkte mit den Ordinaten \(u_a\), \(u_b\) und \(u_c\) mit \(u_{a,b,c}\), so ist die Gleichung die Parabel dritter Ordnung, die durch einen weiteren Punkt mit der Koordinate \(u_d\) geht: \[ u_{a, b, c, d}=\frac {(d-x) u_{a, b, c} +(x-c) u_{a, b, d}}{d-c}. \] Verf. behandelt mittels dieser Formel zunächts den nichtsymmetrischen Fall, bei dem man immer von einer Endordinate ausgeht. Diese Form der Methode läßt sich auch zur inversen Interpolationen verwenden, also z. B. Aufsuchung der Nullstellen von Funktionen. Sodann behandelt er der Fall einer geraden Anzahl symmetrisch gelegenen Funktionswerte, bei dem nach anfänglich linearen Interpolation zwischen symmetrischen werten Formeln der Form \[ u_{\pm a,\pm b,\pm c} =\frac {(c^2-x^2)u_{\pm a,\pm b}+(x^2-b^2)u_{\pm a,\pm c}}{c^2-d^2} \] benutzt werden. Der Fall, daß eine ungerade Anzahl symmetrisch gelegener Funktionswerte gegeben ist, läßt sich in verschiedener Weise auf den Fall der geraden Zahl zurückführen. Das Verfahren konvergiert schneller als das erste und ist auch für \(x\)-Werte, die nicht im Mittelintervall liegen, brauchbar. Auch auf Funktionen zweier Veränderlicher läßt sich das Verfahren übertragen. Die Ausführung der Rechnungen erläutert Verf. an Beispielen. Der Vorteil des Verfahrens besteht unter anderem einmal darin, daß die Tafeln weniger umfangreich werden, wenn nicht mehr die Differenzen, vor allem auch die höherer Ordnung, abgedruckt zu werden brauchen, dann aber auch darin, daß der Rechner bei jedem Schritt einen Überblick über die erreichte Genauigkeit hat. Die Rechenarbeit ist nicht wesentlich größer als bei Benutzung der Differenzenformeln. Am Schluß gibt Verf. noch eine Reihe von Einzelbemerkungen. So zeigt er z. B., daß seine Methode, ins Zeichnerische übertragen, eine Methode ergibt, die mit der ihm offenbar nicht bekannten \textit{Massau}schen zur punktweisen Konstruktion einer Parabel \(n\)-ter Ordnung durch \(n+1\) Punkte übereinstimmt.