Das Restglied der Cotesschen Formel zur numerischen Integration. (Q566915)

Verf. untersucht das asymptotische Verhalten des im Restglied der \textit{Cotes}schen Formel füt \(2m+1\) Funktionswerte \[ R_m=\frac {A_m}{(2m+2)!} f^{(2m+2)}(\xi )(-m<\xi <+m) \] auftretenden Faktors \[ A_m= \int _{-m}^{+m}x \prod _{r=-m}^{+m}(x-r) dx. \] Er findet \[ A_m \sim -\frac {(2m+1)!}{(\log m)^2} \] und damit für den Faktor \(b_m\) von \(f^{(2m+2)}(\xi )\) in \(R_m\) bei \(|\xi |<1\): \[ b_m \sim \frac {-1}{2(\log m)^2} m^{-2m-3}. \] Für den entsprechenden Faktor \(b'_m\) im Restglied der \textit{Gauß}schen Formel für \(m+1\) Funktionswerte ergibt sich \[ b'_m=\frac {\sqrt {\pi }}2\left ( \frac {e}4\right )^{2m} m^{-2m-\frac 12}, \] so daß also letztere für sehr große Werte von \(m\) eine genauere Aussage liefert als erstere.