Über die angenäherte numerische Lösung des Problems der Wärmeleitung. (Q566925)

Zur Lösung der \textit{Laplace}schen Gleichung \(\varDelta u=0\) mit der Randbedingung \[ hu+k\frac {\partial u}{\partial n}=f \quad (hk\geq 0),\;h+k \neq 0), \] wo \(h\), \(k\) und \(f\) gegebene Funktionen sind, wird \(\varDelta u\) durch die entsprechende partielle Differenzengleichung ersetzt. Bezeichnet man die auf dem aus Ecken und Seiten des Gitters gebildeten Rande liegenden Funktionswerte mit \(r\), die Nachbarwerte mit \(w\), so wird \(w=r+d\), wo die Steigung \(d\) der ableitung der Lösungsfunktion nach den inneren Normalen proportional ist (Proportionalitätsfaktor \(c\)). Die Randbedigung läßt sich dann in den Form \[ r=\frac {f+\kappa W}{h+\kappa }\;(\kappa =k:c) \] schreiben. Die dieser Randbedingung genügende Funktion \(\Phi \) wird durch sukzessive Approximation gewonnen. Ist \(\Phi _n\) die \(n\)-te Näherungsfunktion, so bestimmt man die Randwerte für die \(n+1\)-te Näherung aus \[ r_{n+1}=\frac {f+\kappa w_n}{h+\kappa }, \] berechnet mit diesen Randwerten die \(n+1\)-te Näherung \(\Phi _{n+1}\) und dieser nach der obigen Formel neue Randwerte \(r_{n+2}\) usw. Konvergenz des Verfahrens und eindeutigkeit der dadurch gewonnenen Lösung werden bewiesen, und an einem Beispiel wird die Verwendbarkeit der Methode gezeigt.