Die Anwendung des Störungsverfahrens zur Berechnung der Eigenwerte bei Deformation des Randes. (Q566927)

Es seien \(\lambda _i\) und \(\psi _i(x,y)\) die Eigenwerte und normierten Eigenfunctionen der Randwertaufgabe \[ \varDelta u+\lambda u=0 \] mit der Randbedingung \(u=0\) längs des Randes \(x=f_1(t)\), \(y=f_2(t)\), und entsprechend \(\sigma _i\) und \(v_i(x,y)\) die Eigenwerte und Eigenfunktionen der durch Deformation des Randes daraus hervorgehenden ``gestörten'' Randwertaufgabe \[ \varDelta v+\varrho v=0 \] mit \(v=0\) längs des deformierten Randes \(x=f_1(t)+\varepsilon \varphi _1(t)\), \(y=f_2(t)+\varepsilon \varphi _2(t)\). Verf. stellt sich die Aufgabe, ein praktisch brauchbares Verfahren zur näherungsweisen Berechnung der ``gestörten''Eigenwerte und Eigenfunktionen aus den ``ungestörten'' zu finden, und gelangt mit Hilfe des Störungsrechnunhg entnommenen Ansatzes \[ \varrho _i=\lambda _i+\varepsilon \eta _1^{(i)}+\varepsilon ^2\eta _2^{(i)}+\dots v_i=\psi _i+\varepsilon \mu _1^{(i)}+ \varepsilon ^2\mu _2^{(i)}+\dots \] zu einfachen Rekursionsformel für die Eigenwert- sowie Eigenfunktionenänderungen \(\eta _k^{(i)}\) und \(\mu _k^{(i)}\). In derselben Weise wird sodann die zweite Randwertaufgabe (\(\frac {\partial u}{\partial n}=0\) längs des Randes) behandelt und erledigt. Die praktische Brauchbarkeit des Verfahrens wird an den Beispielen der schwingenden Saite sowie der rechteckigen und elliptischen Membran erläutert. Am Schlußkündigt Verf. die Fortführung des eintwickelten Verfahrens (allgemeinere Randbedingungen, Fehlerabschätzung, Konvergenzfragen0 in einer folgender Arbeit an.