Metrical coordinates in non-euclidean geometry. (Q566986)

Verf. gewinnt für die projektiven Koordinaten \(x, y, z\) der elliptischen Ebene folgende Darstellung: \[ \varrho x={\sin LP\over \sin L_0 U},\quad \varrho y={\sin MP\over \sin M_0 U},\quad \varrho z={\sin NP\over \sin N_0 U}, \tag{*} \] weiterhin für den absoluten Kegelschnitt: \[ x^2 \sin ^2 p_0\sin ^2 a+\cdots +2yz\sin q_0\sin r_0\sin b\sin c\cos a+\cdots =0; \tag{**} \] analog im \(n\)-dimensionalen Fall: \[ \varrho x_r ={\sin L_r P \over \sin p_r} \tag{***} \] für die projektiven Koordinaten \(x_r\) und \[ \sum a_{rs} x_r x_s =0, a_{rr} = k'\sin ^2 p_r S_{n,r}^2, a_{rs} =k'\sin p_r\sin p_s S_{n,r}S_{n,s}\cos k_{rs} \tag{****} \] für das absolute Maßgebilde. Dabei bedauten \(LP, MP, NP\) die elliptischen Abstände eines Punktes \(P\) von den Seiten \(x=0, y=0, z=0\) des Fundamentaldreiecks, \(L_0 U, M_0 U, N_0 U\) die entsprechenden Größen für den Einheitspunkt \(u=[1,1,1]\). Analoge Bedeutung besitzen \(L_r P\) und \(p_r\) im \(n\)-dimensionalen Falle. Nach (**) hängt die Gleichung des absoluten Kegelschittes von den Abständen des Einheitspunktes von den Seiten des Fundamentaldreiecks \(p_0 q_0 r_0\) sowie von den Längen der Dreiecksseiten \(a, b, c\) ab, in mehreren Dimensionen kompliziert sich diese letzte Abhängigkeit, indem in (****) Koeffizienten \(a_{rs}\) auftreten (``Kantenlängen'' des Simplexes), aus welchen gewisse Determinanten \(S_{n,r}^2\) aufgebaut werden. Daneben betrachtet Verf. stets noch einige Spezialfälle (\(p_0 =q_0 =r_0\), \(b=c={\pi \over 2}\), trilineare, cartesische Koordinaten usw.)