On the topology of algebroid singularities (Q567010)

Hat die analytische Kurve \(y=y(x)\) im Nullpunkt eine algebroide Singularität mit nur einem Zweig, so wird die Singularität algebraisch gekennzeichnet durch die Hauptglieder der \textit{Puiseux}schen Entwicklung, d. h. diejenigen, bei denen sich der Hauptnenner der bis zu dieser Stelle vorkommenden Exponenten von \(x\) vergrößert. Topologisch wird die Singularität gekennzeichnet durch den Schlauchknoten, in dem die Kurve eine kleine Kugel um den Nullpunkt schneidet, und der durch die Exponenten der Hauptglieder voll bestimmt ist. Verf. gibt einen - unabhängig von der dasselbe erreichenden Arbeit von \textit{Burau} (vgl. übernächstes Referat) entstandenen - Beweis des Umkehrsatzes: Zwei in den \textit{Puiseux}schen Hauptexponenten verschiedene Singularitäten sind auch topologisch verschieden. Er arbeitet nicht mit dem Knoten, sondern mit einer einfachen algebraischen Kurve, die die vorgeschriebene Singularität hat, und kann dabei ausgebildete Hilfsmittel der algebraischtopologischen Geometrie benutzen. Das Unterscheidungsmerkmal sind die Homologiegruppen der zyklischen Überlagerungen des Restraumes; das \textit{Alexander}sche Polynom des Knotens tritt horvor. Merkwürdig ist das Nebenergebnis: Die erste \textit{Betti}sche Zahl der \(k\)-fachen Überlagerung ist gleich der Anzahl der Nullstellen des \textit{Alexander}schen Polynoms, die \(k\)-te Einheitswurzeln sind.