An examination of some cut sets of space (Q567104)

I. Betrachtet wird ein im kleinen zusammenhängender, im kleinen kompakter, separabler und zusammenhängender metrischer Raum \(R\), welcher keinen Zerlegungspunkt (cut point) besitzt. (Dabei heißt \(p\) Zerlegungspunkt von \(R\), wenn es in der \(p\) enthaltenden Komponente \(K\) von \(R\) zwei Punkte \(a\) und \(b\) gibt, die in \(K\) durch \(p\) ``getrennt'' werden, d. h. daß\ \(K-p\) Summe zweier getrennter Mengen ist, von denen eine \(a\) und die andere \(b\) enthält. Zwei mengen heißen getrennt, wenn jede fremd ist zur abgeschlossenen Hülle der anderen.) Verf. zeigt: Es seien \(a\) und \(b\) irgend zwei feste Punkte von \(R\); ferner sei \(L=L(a,b)\) die Menge aller Punkte \(x\subset R\), für welche ein Punkt \(y=y(x)\subset R\) existiert, so daß\ \(a\) und \(b\) in \(R\) durch \((x+y)\) getrennt werden (d. h. daß\^^M\(R-x-y\) Summe zweier getrennter, \(a\) bzw. \(b\) enthaltender Mengen ist.) Dann ist \(L+a+b\) abgeschlossen und kompakt. II. Es sei \(S\) ein zusammenhängender, im kleinen zusammenhängender, separabler, metrischer Raum, ferner sein \(a, b\) zwei beliebige festgehaltene Punkte von \(S\). Ferner bezeichne man mit \(G\) ein System abgeschlossener, sich gegenseitig ausschließender, ``non-separated'' Mengen \(X\) aus \(S\), deren jede \(a\) und \(b\) in \(S\) trennt. Dann können die \(X\) linear geordnet werden, ferner ist jede unendliche monotone Teilfolge aus \(G\) konvergent mit nicht-leerem Limes \(M\), welcher entweder \(a\) und \(b\) in \(S\) trennt oder mindestens einen der Punkte \(a, b\) enthält. - Dabei heißen die \(X\subset G\) ``non-separated'', wenn für zwei beliebige von ihnen, etwa für \(X_1\) und \(X_2\), folgendes gilt: Ist \(S-X_1\) Summe der zwei getrennten \(a\) bzw. \(b\) enthaltenden Mengen \(S(a, X_1)\) bzw. \(S(b,X_1)\), so ist \(X_2\) entweder in \(S(a,X_1)\) oder in \(S(b,X_1)\) enthalten. Die lineare Ordnung der \(X\) wird so erklärt: \(X_1<X_2\), wenn \(X_2\subset S(b,X_1)\).