Über die lokale Zerschneidung der Ebene (Q567125)

\(C\) sei ein Kontinuum in der Ebene, \(p\) ein Punkt von \(C\). In \(p\) liegt eine lokale Zerschneidung der Ebene von der Ordnung \(n\) vor, wenn die Menge \(U-C\) für alle hinreichend kleinen Umgebungen \(U\) von \(p\) aus mindestens \(n\) und für gewisse beliebig kleine \(U\) aus genau \(n\) Komponenten besteht. Analog sind Zerschneidungen wachsender und unendlicher Ordnung definiert. Für Zerschneidungen endlicher Ordnung \(n\) gilt: Für jede hinreichend kleine Umgebung \(U\) ist \(p\) von mindestens \(n\) Komponenten der Menge \(U-C\) aus erreichbar. Zerschneidungen unendlicher Ordnung können ein recht kompliziertes Verhalten zeigen; doch gilt ein entsprechender Satz noch für die regulären Zerschneidungen unendlicher Ordnung; das sind solche, bei denen für eine passende Umgebung \(U\) (1) \(p\) auf dem Rande von unendlich vielen Komponenten \(V_1, V_2,\dots \) von \(U-C\) liegt und (2) für jede \(U'\subset U\) Komponenten \(V'_1, V'_2, \dots \) von \(U'-C\) mit \(V'_i\subset V_i\) existieren, auf deren Rand \(p\) liegt. Mit Hilfe eines Satzes von \textit{G. T. Whyburn} (Bulletin A. M. S. 34 (1928), 504-510 (F. d. M. 54, 633 (JFM 54.0633.*)), insbesondere S. 505) ergibt sich aus der Erreichbarkeitseigenschaft: \(C\) enthält höchstens abzählbar viele Punkte, in denen Zerschneidungen einer endlichen Ordnung \(n>2\) bzw. regulärer unendlicher Ordnung vorliegen.