Über eine mit der Theorie der konfokalen Kegelschnitte erknüpfte quadratische Geradentransformation. (Q567410)

\textit{W. F. Meyer} untersuchte gelegentlich (1930; JFM 56.0550.*) eine Transformation \(X \to X_2\) zweier Geraden \(X, X_2\) der Ebene, bei der die Gerade \(X_2\) senkrecht auf \(X\) steht und \(X\) und \(X_2\) durch ein festes Punktepaar \(f_1, f_2\) harmonisch getrennt werden. An Stelle dieser allgemein projektiven Formulierung steht es frei, eine euklidische oder sonstige \textit{Cayley-Klein}sche Maßbestimmung in der Ebene einzuführen. Von den beiden \(X_2\) bestimmenden Punkten (vierter harmonischer zu \(X, f_1, f_2\) und Zenit von \(X\)) ist dabei stets der erste Pol von \(X\) in bezug auf ein ausgeartetes Polarsystem, dessen Ordnungskurve die ``Kurve zweiter Klasse'' \(f_1, f_2\) darstellt. Man kann dann mit Verf. die Transformation durch Übergang zu zwei beliebigen Polarsystemen eventuell auch zu zwei beliebigen Korrelationen \(R\) und \(S\) verallgemeinern (bzw. zu zwei beliebigen anderen Korrelationen aus dem von \(R\) und \(S\) bestimmten Büschel). Der von \textit{W. F. Meyer} behandelte Fall erscheint dabei als Wahl zweier konfokaler Kegelschnitte der Schar mit \(f_1\) und \(f_2\) als geneinsamen Brennpunkten. Eine weitere Verallgemeinerung ergibt sich, indem man die Doppelgerade \(X\) durch ein Geradenpaar \(XX_1\) ersetzt (``erweiterte Transformationen''). Mit der von zwei Korrelationen erzeugten quadratischen Geradentransformation erweist sich eine zweiparametrige Schar von Korrelationen, ein Korrelationsbündel, projektivinvariant verknüpft, die im zuerst betrachteten Sonderfall in eine Polarität übergehen. Nach einer Reihe weiterer hier anschließend gelöster Konstruktions- und Tranformations- probleme erwähnt Verf. noch einige Anwendungen dieser quadratischen Geradentransformationen mit folgenden Ergebnissen: (1) Die Transformierten der Strahlenpaare einer Involution bilden ein Strahlenbüschel. (2) Die Transformieretn der drei Paare Gegenseiten eines vollständigen Viereckes schneiden sich in einem Punkt. (3) Die Transformierten der Kegelschnitte eines Bündels bilden ein dazu projektives Strahlenbüschel. Methodisch benutzt Verf. dauernd die auf \textit{Möbius} und \textit{Graßmann} zurückgehende Punkt- bzw. Stabrechnung (vgl. etwa \textit{R. Mehmke}, Vorlesungen über Punkt- und Vektor- rechnung I. 1, 1913; F. d. M. 44, 129 (JFM 44.0129.*)).