Die Allgemeinen quadratischen Abbildungen, dargestellt durch geradlinige Dreiecksnetze. (Q567412)

1. Es werden zuerst die innerhalb bestimmter Gebiete umkehrbar eindeutigen und stetigen allgemeinsten punktweisen Abbildungen \(\triangle \) dreier Ebenen \((\varepsilon _0), (\varepsilon ^*), (\varepsilon )\) definiert, die sich durch geradlinige Dreiecksnetze darstellen lassen. Jede Abbildung \(\triangle \) erzeugt beliebig engamaschige Dreiecksnetze, deren Netzgeraden stets eine Kurve dritter Klasse \((H)\) - die auch zerfallen kann - umhüllen. \(\triangle \) selbst ist festgelegt durch beliebige Wahl zweier Kurven dritter Klasse als Hüllkurven \(H\) in \((\varepsilon ^*)\) und \((\varepsilon )\), sowie durch weitere beliebige Wahl der Zuordnung zweier Netzdreiecke in \((\varepsilon ^*)\) und \((\varepsilon )\). 2. Die allgemeinen quadratischen Abbildungen zweier reeller Ebenen \((\varepsilon ^*)\) und \((\varepsilon )\), die als Sonderfälle die sogenannten \textit{Cremona}schen (birationalen quadratischen) Abbildungen enthalten, werden durch ihr Gleichungen definiert, und es werden ihre wichtigsten Eigenschaften entwickelt. 3. Im Mittelpunkt der Arbeit steht der Nachweis, daß sich die allgemeinen quadratischen Abbildungen den allgemeinen Abbildungen \(\triangle \) als Spezialfälle unterordnen, indem eine mit dem Lineal allein ausführbare Konstruktion geradliniger Dreiecksnetze, die eine allgemeine quadratische Abbildung darstellen, explizit angegeben und durchgeführt, ferner der Beweis erbracht wird, daß diese Konstruktion - von gewissen Ausnahmefällen abdesehen - auch auf jede quadratische Abbildung anwendbar ist. 4. Die Einteilung der Hüllkurven \((H)\) führt in Verbindung mit dem gewonnenen Hauptergebnis der Arbeit zu einer bis in alle Einzelheiten durchgeführten Klassifikation aller allgemeinen quadratischen Abbildungen in zehn Haupttypen, die je analytisch charakterisiert und - in metrischer Normierung - gestaltlich diskutiert werden. Die Anschaulichkeit der interessanten und wichtigen Untersuchungen wird durch exakte Konstruktionen der vorkommenden geometrischen Gebilde erreicht; durch die dabei getroffenen übersichtlichen Zeichengebungen wird die konstruktive Realisierung zu höchstmöglicher Klarheit gebracht.