Intersection de deux courbes planes algébriques. (Q567510)

Verf. macht hier einige Angaben über seine Untersuchungen hinsichtlich der Frage: Wie weit können die gemeinsamen Punkte zweier ebenen algebraischen Kurven von gleicher oder verschiedener Ordnung zusammenfallen? Ist insbesondere eine Vereinigung in einem einzigen Punkte möglich? Er bemerkt hierzu, daß diese Frage auf den \textit{Brill-Noether}schen Restsatz und das \textit{Abel}sche Theorem führst. Besonders werden Kurven vierter Ordnung behandelt. Mit Hilfe des verallgemeinerten \textit{Abel}schen Theorems werden die drei Bedingungsgleichungen dafür aufgestellt, daß die sämtlichen Schnittpunkte der unikursalen Kurve mit dreifachem Punkt \[ y= x^2 + \frac {A}{x} + \frac {B}{x-1} \] mit einer Geraden bzw. einem Kegelschnitt bzw. einer \(C_4\) in einen einzigen zusammenfallen. Im ersten Fall liefern die Gleichungen \(A\) und \(B\) als Funktionen der willkürlich wählbaren Abszisse des Schnittpunkts, im zweiten besitzen sie zwei Lösungen, während im dritten Fall nur imaginäre Lösungen existieren. Auch die Frage, inwieweit die Gruppe der \(m^2\) Schnittpunkte zweier \(C_m\) eine unsymmetrische Struktur aufweisen kann (vgl. frühere Arbeiten des Verf., 1924, 1925; F. d. M. 50, 448 (JFM 50.0448.*); 51, 511), wird in dem vorliegenden Fall gestellt und für \(m=4\) - allerdings noch nicht vollständig - beantwortet. Zum Schluß erwähnt Verf. noch als Beispiel unerwarteter Ergebnisse das folgende: Ein gemeinsamer Punkt zweier \(C_4\) kann für 1, 2, \dots, 13 und 16 Punkte zählen, aber nicht für 14 oder 15.