Points de contact d'une courbe algébrique et de son enveloppe. (Q567527)

Ist \(C(x, y, \lambda )=0\) eine Schar ebener, bis auf isolierte Werte von \(\lambda \) singularitätenfreier algebraischer Kurven \(m\)-ten Grades, so berührt jede Kurve der Schar die Enveloppe in \(m^2\) Grenzpunkten, die auf ihr durch \(C_1 =0\) ausgeschnitten werden. Man erhält bekanntlich \(C_1\), wenn man \(C\) nach dem Parameter \(\lambda \) differenziert. Ist eiener dieser Grenzpunkte \(L\) fortwährend die Vereinigung von \(q\) Punkten, so ist der geometrische Ort \(E\) von \(L\) ein Teil der Enveloppe von \(C\), der auch den Enveloppen der durch sukzessive Ableitung erhaltenen Kurven \(C_1, C_2, \dots, C_q\) gemeinsam ist. \(E\) hat in \(L\) mit den \(C, C_1, \dots, C_q\) eine Berührung der Ordnung \(q, q-1, q'-2, \dots, 1\). 1. Es werden dann für \(m=2\) die verschiedenen Möglichkeiten der Aufspaltung des Granzpunktes in verschiedene Punkte durchdiskutiert und durch Beispiele belegt. Es gibt die Fälle 4, 3, 2, 1. 2. Hierauf wird der Fall \(m\geqq 3\) behandelt. In diesem Fall kann man keine beliebige Reduktion der \(m^2\) Punkte auf \(m^2-h\) verschiedene erreichen. Im Falle \(m=4\) sind Grenzpunkte der Multiplizität 16, 15, 14 sogar unmöglich, wie im einzelnen gezeigt wird.